2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04826
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
黒田 茂 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (70453032)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 多項式環 / 多項式自己同型 / 加法群作用 / Hilbertの第14問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 多項式環の自己同型群の構造について，3変数以上の場合は未解明な点が多い．これらの研究を推進するうえで，自己同型群の構造解析のための手法を開発することが非常に有効である．そのために，比較的研究の進んでいる2変数の場合についての理解を深めることは，大きな意味がある．本年度前半は，2変数多項式環に関して重要な結果である「自己同型定理」と「加法群作用の分類定理（Rentschler-Miyanishiの定理）」の関係について研究を行い，これら2つの間の新たな関係性を発見した．「加法群作用の分類定理」は，基礎体の条件（標数が0か正か，代数的閉体であるか否か）に応じて様々な研究者により少しずつ一般化が行われてきたものである．この定理を，よく知られた「自己同型定理」から簡単な議論で導けることが判明した点は特に興味深い．
2. 研究代表者は従前の研究において，Hilbertの第14問題の反例の構成に関していくつかの重要な成果を挙げた．本年度後半に，多項式環の自己同型に関する知見を踏まえてこれらに検討を加えたところ，大きな進展が得られた．この研究は進行中であるが，現時点で以下の成果を得ている．Hilbertの第14問題は，n変数有理関数体k(X)の部分体Lで基礎体kを含むものと，n変数多項式環k[X]の共通部分L∩k[X]がk代数として有限生成かを問う問題である．今回の研究では，Lがある種の「極小性」を持ち，かつ，k上の超越次数が2以上であるとき，「安定変形」を施すことでLをHilbertの第14問題の反例に変えられることを示した．研究代表者による2007年の論文において，n=3かつ[k(X):L]=2の場合のHilbertの第14問題が未解決のまま残されたが，今回の結果によってこれが否定的に解決した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多項式環の自己同型に関する知見を踏まえ，Hilbertの第14問題に対して検討を加えたところ，大きな進展が得られた．この方向の研究がさらなる発展を遂げる事が期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成28年度に引き続き，国内外の研究者たちと情報交換や議論を行いながら研究を進める．年度後半に関連分野の研究者を招聘し，国際会議を開催する予定である．
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| Causes of Carryover |
研究の展開の方向性等を考慮し，海外渡航や海外からの研究者の招聘を見送ったため残額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
関連分野の国内外の研究者を招聘し，国際会議を開催する．
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Research Products
(22 results)
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[Presentation] 微分作用素と多項式環2016
Author(s)
黒田 茂
Organizer
微分作用素と多項式環
Place of Presentation
佐賀大学本庄キャンパス（佐賀県・佐賀市）
Year and Date
2016-09-10 – 2016-09-10
Invited
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