2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04826
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
黒田 茂 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (70453032)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 多項式環 / 多項式自己同型 / 加法群作用 / Hilbertの第14問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 昨年度，Hilbertの第14問題の反例の構成に関する研究で技術的な進展があり，長く未解決であった場合における反例の構成などの成果を収めた．この方法を用いると，体論的な観点から興味深い種々の反例が得られるが，群作用による不変式環として反例を与えることにはあまり向いていない．そこで本年度は，昨年度の研究で構築した理論の類似を，不変式環なども扱えるような状況において再構築する研究に取り組んだ．
その結果，多項式環の部分環で一定の条件を満たすものは，多項式環の自己同型写像を用いることにより，常に有限生成でない部分環に「改変」できることが分かった．この手法は非常に汎用性が高く，これを用いることで，Hilbertの第14問題や，その一般化であるZariskiの問題に対して実に様々な反例が得られる．また，アフィン空間への加法群作用に関しても，作用の「改変」を行うことにより，有限生成でない不変式環を持つ例が極めて容易に構成できる．これらの結果は，研究代表者がこの方面でこれまで行ってきた研究の集大成ともいえるものである．こうした研究成果について，下で述べる国際会議を含め，いくつかのシンポジウムや学会などで発表した．
2. 2018年2月12日～16日の日程で，国際会議Polynomial Rings and Affine Algebraic Geometry (PRAAG2018)を開催した（小野田信春氏、Gene Freudenburg氏と共同）。関連領域の23名の海外研究者を含む60名超が参加した。多項式環の自己同型群やHilbertの第14問題をはじめ，本研究課題と密接に関係するテーマについて，極めて有益な議論や情報交換を行った．
ホームページ：https://sites.google.com/view/praag-2018
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Hilbertの第14問題やZariskiの問題に対する反例の構成に関する理論を，加法群作用による不変式環なども扱えるような一般的な状況において構築した．加法群作用による不変式環は多くの研究者が関心を持っている研究対象であり，関連領域への波及効果も期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度に引き続き，国内外の研究者たちと情報交換や議論を行いながら研究を進める．本研究課題で得られた研究成果の完成度を高めるため，学会等に参加して成果の公表を行ったり，国内外の関連分野の研究者たちと議論を行ったりする．
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| Causes of Carryover |
研究の展開の方向性等を考慮し，海外渡航や海外からの研究者の招聘，成果発表等を一部見送ったため残額が生じた．
これらは，次年度に学会等に参加して成果の公表を行ったり，国内外の関連分野の研究者たちと議論を行ったりするために使用する．
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