2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04828
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
蔵野 和彦 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90205188)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | グロタンディェク群 / 極大コーエンマコーレー加群 / コーエンマコーレー錐 / 因子類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Grothendieck 群や Chow 群を数値的同値で割ると有限生成の格子が得られる。それに、実数体をテンソルして有限次元ベクトル空間を考える。ここでは、収束・発散などを議論することができる。そのベクトル空間の中で、極大コーエンマコーレー加群が張る錐を考える。この論文では、コーエンマコーレー錐の基本性質を調べた。応用として、様々なヒルベルト・クンツ関数の例を構成することに成功した。
Huneke-McDermott-Monsky の結果により、正規局所環のヒルベルト・クンツ関数は、第二係数まではきれいにふるまうことがわかる。藏野の結果により、この第二係数は、Q-ゴーレンシュタイン環であれば 0 になることが証明されている。本研究では、正規(R1 + S2)という仮定をR1のみに制限しながら、上の二つの結果がどのくらい拡張できるかを調べた。
本研究ではコーエンマコーレー錐は、原点で真に尖っている錐であることを証明した。この結果を用いて、因子類群の数値的同値類が torsion であるとき、階数１の極大コーエンマコーレー加群の同型類は有限個であることを証明した。３次元超曲面で孤立特異点であるものが、因子類群の数値的同値類が torsion である典型的な例である。
完備局所環の構造定理は、可換環論の定理の中でも最も重要なものの一つである。その系として、等標数の完備局所整域は、体上の形式的冪級数環上の有限加群であることが示される。Gabber は、正標数であっても係数体をうまくとることにより、商体の拡大が分離拡大にできることを証明した。本研究では、その結果にエレメンタリーな証明を与えることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
28年度は順調に研究が進んだが、27年度の研究の遅れは取り戻せていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
次の課題として、コーエンマコーレー錐を利用して、可換環論の様々な不変量の振動を制御することにである。今年度は、その問題に取り組みたい。
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| Causes of Carryover |
一年目(平成27年度)の研究が遅れてそれがずれこんでおり、研究費の使用計画が遅れている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究をまとめてやることは無理なので、今年度は本研究の最終年度なのだが、次年度に持ち越すことも考えている。
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