Construction of harmonic maps into non-compact symmetric spaces via loop groups and applications to surface theory

2018 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15K04834
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: Inoguchi Jun-ichi 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: ループ群 / 調和写像 / 対称空間 / 極小曲面 / 双曲空間 / ハイゼンベルグ群 / 反ド・ジッター空間 / 佐々木多様体

Outline of Final Research Achievements

We gave a loop group method for constructing minimal surfaces with symmetry in the 3-dimensional Heisenberg group (the model space Nil of nilgeometry in the sense of Thurston). We also established loop group methods for constructing constant negative Gaussian curvature surfaces in the hyperbolic 3-space and maximal surfaces in the 3-dimensional anti de Sitter space-time.　In addition, we generalized the Uhlenbeck-Segal theory　for harmonic maps into compact semi-simple Lie groups (principal chiral models) to affine harmonic maps into general Lie groups equipped with natural bi-invariant torsion free connection.

Free Research Field

幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

3次元空間の２次元図形（曲面）を深く精緻に理解するためには、それらの図形を具体的に構成することがもっとも有効である。一般にはこれらの図形を記述する方程式（非線型偏微分方程式）の解析は困難であるが, 幾何学的によい性質をもつ曲面（ガウス曲率一定曲面, 極小曲面）や理論物理学に由来する曲面（反ド・ジッター時空の極大曲面）は具体的構成法を与えることが可能であることを示した。これらの曲面に対する研究手法を与えた点が本研究の学術的意義である。本研究成果を得る過程で得られた研究手法は他の問題（磁場軌道，重調和写像）や工業意匠設計（美的曲線）にも応用できた点にも価値がある。