球面内の平坦トーラスに関する直径予想の研究

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04836
• Research Institution: Utsunomiya University
• Principal Investigator: 北川 義久 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (20144917)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 微分幾何学 / 部分多様体 / ３次元球面 / 平坦トーラス / 直径 / 剛性 / 正則閉曲線 / ２重接触

Outline of Annual Research Achievements

1980年代後半，２次元単位球面上の閉曲線対から３次元単位球面内の平坦トーラスを構成する方法が研究代表者により開発された．この構成法を応用して，現在までに，３次元単位球面内の平坦トーラスに関する興味深い研究成果が数多く得られているが，クリフォードトーラスの剛性に関する問題をはじめとして重要な未解決問題も残されている．本研究では，３次元単位球面内の平坦トーラスに関する研究をさらに発展させるため，次の二つの研究を実施する．
（研究A）３次元単位球面内の平坦トーラスの直径は円周率に等しいという「直径予想」に関する研究を推進し，この分野における重要な未解決問題である「クリフォードトーラスの剛性」に関する問題の解決を目指す．
（研究B）３次元単位球面内の平坦トーラスについて得られている諸定理の高次元化の問題を研究するため，２次元複素射影空間内のラグランジュ平坦トーラスに関する研究を推進する．
今年度は，直径予想について重点的に研究した．そのため，連携研究者との研究打合せを行うとともに，国内で開催された微分幾何学関連の研究集会に参加し，直径予想と密接に関連する２重接触予想を解決するための情報収集に努めるとともに，多くの研究者とこの問題について議論した．さらに，連携研究者と研究打合せを行い，得られた情報を共有するとともに，２重接触予想を解決するためのアイデアについて検討したが，現時点では，完全解決には至っていない．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

問題解決のための情報収集や研究打合せは等は順調に進んでいるが，２重接触予想の完全解決には至っていない．

Strategy for Future Research Activity

今後の研究の推進方策は以下の通りである．
研究A については，直径予想と２次元単位球面上の正則閉曲線対の２重接触予想との同値性を基盤とし，連携研究者とともに，２重接触予想の完全解決を目指す．さらに，クリフォードトーラスの剛性に関する問題を解決する．
研究B については，(n-1)次元複素射影空間内のラグランジュ平坦トーラスから (2n-1)次元単位球面内のn次元平坦トーラスが自然に構成できることをふまえ，特に，２次元複素射影空間内のラグランジュ平坦曲面の構成法についての研究を重点的に推進する．このような曲面の構造方程式を導き，この偏微分方程式の解の構成法を開発する．さらに，解の２重周期性について研究し，２次元複素射影空間内のラグランジュ平坦トーラスの構成法を確立する．

Causes of Carryover

所属機関における業務のため，研究集会に予定通り出席できない場合があり，残額が生じた．

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度以降に請求する研究費の使用計画への影響は無い．