接触多様体におけるReeb流の柔軟性

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04837
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 稲葉 尚志 千葉大学, 普遍教育センター, 教授 (40125901)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: Reeb流 / 接触構造 / contact Hamiltonian 関数 / 不変集合

Outline of Annual Research Achievements

今年度の研究計画に沿って、2n+1次元ユークリッド空間上に標準接触構造Dを固定した状況下で、Dを定める接触形式をいろいろ取り換えることにより、Reeb流がどのように変化するかについて考察を進めた。具体的には、Dに横断的でコンパクトな部分多様体MがいつReeb流の不変集合として実現できるか、また、M上のどんな流れがReeb流として実現できるか、について考えた。既に、n（及びそれ以下の）次元のトーラスについてはGeiges-Rottgen-ZehmischやArai-Inaba-Kanoにより、不変集合としての実現についても、その上の流れのReeb流としての実現についても明らかになっているが、今年度の本研究では、トーラス以外の対象として、まず、Mの次元をできる限り大きくすることを試みた。結果として、2n-1次元の球面、更に、それに2次元正方形を直積した2n+1次元（即ち、余次元0）の図形はReeb流の不変集合として実現できることがわかった。それらの構成には、直接ベクトル場を相手にするのではなく、ベクトル場に要請される諸性質をすべて、対応するcontact Hamiltonian関数の諸性質に翻訳し、それら諸性質を満たす関数のほうを構成するという方法をとった。しかし、それら図形上のどんな流れをReeb流として実現できるかについては、まだ簡単な流れの実現しか達成できていない。まだ、まとまった成果の形にまでは至っていないので研究集会での発表や論文作成の着手は行っていない。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

次元の高いコンパクト多様体MをReeb流の不変集合として実現することはできたが、M上の様々な流れがReeb流として実現できるかどうかまでは研究が進まなかった。進み方として、ややスピードが足りなかったと感じている。

Strategy for Future Research Activity

次元の高いコンパクト多様体M上の様々な流れReeb流として実現できるかどうかについて現在の方法を用いて更に追究する。また、トーラスと球面以外の多様体の実現も目指す。今後はHamilton関数の構成法について、現在よりも見通しのよい構成法に洗練していきたい。