2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04842
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 統計多様体 / 情報幾何学 / 共形射影構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は統計多様体の一般化した共形構造の幾何学を解明し，その幾何学の統計学や可積分系理論などへの応用することである．
統計多様体上でRiemann 計量の共形変形やアファイン接続の射影変形を議論する場合，適合性の条件のために計量と接続は独立して変形ができず，統計多様体の一般化した共形変形が生じる．そこで本研究は，第一に非指数型確率密度関数族や正値関数族などに対し，統計多様体上の共形構造や射影構造などを含む一般化した共形構造の考察を行う．その結果を発展させ，関数族とは限らない統計多様体の場合に一般化した共形構造の幾何学の深化を目指す．
研究の初期段階にあたる平成２７年度は，変形指数型分布族などの統計モデルに対して統計多様体の一般化した共形構造の幾何学的性質を考察した．特にq-正規分布族をはじめとする変形指数型統計モデルの多様体について，これらの幾何学的性質を解明した．変形対数関数に関する対数微分が，エスコート分布と呼ばれる確率分布を変形した正値測度で不偏であることを示した．これは従来から議論されてきたエスコート分布が，統計モデルに自然に接ベクトルを定めることを意味する．確率変数の独立性の一般化についても幾何学を応用し，情報幾何学の視点からモデル選択基準を考察した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２７年度の研究目標は (1) q-正規分布族をはじめとする非指数型統計モデルの多様体について，射影幾何的構造や一般化した共形構造などの幾何学的性質を解明する，(2) 確率分布の規格化と，統計モデルの幾何構造の関連を考察する，ということであった．
「研究実績の概要」欄でも述べたように，変形指数型分布族に対する幾何学構造の解明は順調に進んでいる．また確率分布の正規化問題についても，q-正規分布族の場合にはe-正規化とm-正規化と呼ばれる2種類の規格化を組み合わせ，q-独立性従う確率分布の具体例の構成について成果を得ている．
本研究で得られた幾何学の諸分野への応用についても，幾何学的な正準ダイバージェンスを用いた変形指数型分布族のモデル選択基準の構成について，予備的考察を得た．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２７年度に取り組む研究課題に加えて，確率変数の独立性の一般化と統計多様体の共形構造などとの関連を解明する．
特に平成28年度には正値関数空間，行列空間などでの情報幾何学の考察を目標とする．適切に正値関数空間に幾何学構造を構成することは，正値関数空間に統計モデルがどのような部分多様体として実現されるかという問題にも対応する．統計部分多様体の理論にも関連しており，一般化した共形構造の解明にも有用であると予想している．
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| Causes of Carryover |
申請当初にはなかった国際会議が，次年度４月上旬に開催されることになった．この国際会議への渡航費と参加費を捻出するため，予算を次年度に繰り越した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
理由欄で述べた国際会議に参加することで，該当年度の未使用額の大半を使用する予定である．
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[Presentation] International Centre for Mathematical Sciences2015
Author(s)
Geometry of anomalous statistics and its application to computational anatomy
Organizer
Computational information geometry for image and signal processing,
Place of Presentation
International Centre for Mathematical Sciences, UK
Year and Date
2015-09-21 – 2015-09-25
Int'l Joint Research / Invited
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