2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04842
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 統計多様体 / 情報幾何学 / 共形射影構造 / エスコート分布 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は統計多様体の一般化した共形構造の幾何学を解明し，その幾何学の統計学や可積分系理論などへの応用することである．
統計多様体上でRiemann 計量の共形変形やアファイン接続の射影変形を議論する場合，適合性の条件のために計量と接続は独立して変形ができず，統計多様体の一般化した共形変形が生じる．そこで本研究は，第一に非指数型確率密度関数族や正値関数族などに対し，統計多様体上の共形構造や射影構造などを含む一般化した共形構造の考察を行う．その結果を発展させ，関数族とは限らない統計多様体の場合に一般化した共形構造の幾何学の深化を目指す．
研究の２年目にあたる平成２８年度は，変形指数型分布族などの統計モデルに対して幾何学構造の考察を行ったが，特に確率分布として正規化を行わない正値測度を意識した研究を行った．変形指数型分布にはエスコート分布とよばれる，もとの確率分布に付随した確率分布と，エスコート分布に関する期待値が有用であることが知られていた．q-指数型分布族の場合にエスコート分布の幾何学的性質をさらに考えることにより，エスコート分布が階層構造を持って現れることが分かった．またこの結果，期待値も階層構造を持って現れることが分かった．言い換えると，確率変数の期待値は確率分布のみに依存するのではなく，対象とする統計量にも依存して変化すると言える．この成果には，平成２７年度に行った統計多様体の共形構造と，一般化したスコア関数の不偏性も大きく関係している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２８年度には正値関数空間，行列空間などでの情報幾何学の考察を目標としていたが．確率分布を正値関数まで拡張したエスコート分布を考えることにより，q-指数型分布族の場合にエスコート分布，及びエスコート期待値が階層構造を持って現れることが分かった．α-ダイバージェンス，β-ダイバージェンス，及びそれらから誘導される統計多様体の構造など，情報幾何学でこれまでに知られていた幾何学量がエスコート期待値の階層構造を用いて明快に説明できた．
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| Strategy for Future Research Activity |
エスコート分布，及びエスコート期待値の階層構造は統計モデルのなす統計多様体の一般化した共形構造と深く関連があると予想しているので，平成２８年度に引き続きエスコート分布とエスコート期待値の階層構造に関する研究を継続する．特に一般の変形指数型分布族に拡張した場合に対するエスコート期待値の階層構造や，q-指数型分布族の場合に統計多様体の射影構造との関連などについて考察を行う．
多次元の変形指数型分布族は計算が困難になるため，行列空間での情報幾何学の応用を検討することにより，多次元変形指数型分布族に関する統計多様体の一般化した共形構造の議論を検討する．
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| Causes of Carryover |
申請当初にはなかった国際会議が次年度に開催されることになった．この国際会議への渡航費と参加費を捻出するため，予算を次年度に繰り越した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
理由欄で述べた国際会議に参加することで，該当年度の未使用額の大半を使用する予定である．
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