2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04842
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 統計多様体 / 情報幾何学 / 共形射影構造 / エスコート分布 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は統計多様体の一般化した共形構造の幾何学を解明し，その幾何学の統計学や可積分系理論などへの応用することである．
統計多様体上でRiemann 計量の共形変形やアファイン接続の射影変形を議論する場合，適合性の条件のために計量と接続は独立して変形ができず，統計多様体の一般化した共形変形が生じる．変形指数型分布族とよばれる統計モデル上でこの幾何学を考える場合，エスコート分布とよばれる，もとの確率分布に付随した確率分布と，エスコート分布に関する期待値が有用であることが知られていた．平成２８年度までに研究において，エスコート分布は階層構造を持って現れ，その結果，幾何学構造も階層的に定義されることを解明した．
上述の研究成果は，主にq-指数型分布族とよばれる統計モデルを中心に調べられていたが，研究の３年目にあたる平成２９年度は，一般の変形指数型分布族に対してエスコート分布の階層構造，およびそこから定まる幾何学の階層構造について具体的に計算を行った．その結果q-指数型分布族の場合と同様に，エスコート分布の階層構造から統計多様体やダイバージェンスが構成できることがわかった．統計多様体の共形射影同値性が，ここでも重要な役割を果たしていることがわかった．
また，変形指数型分布族に構成される統計多様体の双対平坦性と不変性は，通常の指数型分布族の場合を除いて両立しないと考えられていたが，双対平坦性と不変性が両立する統計多様体の具体例が構成できた．これは研究開始当初には予想していなかった研究成果であり，数理科学への応用の視点からも重要な結果であると予想している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２９年度は，平成２８年度から引き続いて，変形指数型分布族に対してエスコート分布の階層構造，およびそこから定まる幾何学の階層構造について具体的な計算を行った．その結果q-指数型分布族の場合と同様に，エスコート分布の階層構造，およびそこから定義される期待値の階層構造を用いて，統計多様体やダイバージェンスが構成できることを示した．さらに，不変性や双対平坦性を持つ統計多様体の関係性の記述に，統計多様体の共形射影同値性が重要な役割を果たしていることもわかった．
また，変形指数型分布族に構成される統計多様体の双対平坦性と不変性は，一般には両立しないが，この２つの性質が両立する統計多様体の具体例が構成できた．
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| Strategy for Future Research Activity |
エスコート分布，及びエスコート期待値の階層構造は統計モデルのなす統計多様体の一般化した共形構造と深く関連があると予想しているので，平成３０年度も引き続きエスコート分布とエスコート期待値の階層構造に関する研究を継続する．特に平成２９年度の研究において双対平坦性と不変性が両立する統計多様体構造を構成できたが，これらの性質は応用上も有用であると考えている．多変量の変形指数型分布族や行列空間の場合にも，この統計多様体構造を構成できるか検討する．さらに統計多様体の不変性と，確率変数の独立性の一般などとの関係などについても考察を行う．
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| Causes of Carryover |
申請当初にはなかった国際会議が次年度に開催されることになった．この国際会議への渡航費と参加費を捻出するため，予算を次年度に繰り越した．
複数の国際会議への参加旅費として，未使用額の大半を使用する予定である．
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