2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04845
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
Rossman W.F 神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
直川 耕祐 神戸大学, 理学研究科, 特別研究員(PD) (60740826) [Withdrawn]
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (70451432)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | discrete surfaces / semi-discrete surfaces / integrable systems / Moebius geometry / Lie sphere geometry |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、可積分系理論、メビウス幾何学及びリー球面幾何学の技術を用いて、連続的な曲面が持つ豊富な数学的構造を保つような新たな曲面の離散化を提唱することである。例えば以下のような数学的構造を保つような離散化を考察した。
1) 離散可積分系理論と離散曲面との対応。例えば、ラックス対と呼ばれる、行列型微分方程式の離散化。
2) 離散曲面に随伴する接続の理論。特に、平坦接続の1パラメータ族。
3) 平坦接続に対する保存量の存在性。
4) 連続的な曲面に対して存在する可積分系の変換理論に類似した、離散化された曲面に対する新たな変換理論の創出。
これにより、先行研究で与えられたクラスを含む、任意の3次元リーマンとローレンズ空間型内の離散双等温曲面と半離散双等温曲面を取り扱えるようになった。また離散曲面に特異点の概念を与え、離散曲面と半離散曲面に現れる特異点を具体的に解決した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は以下の成果を得た。
1) F. Burstall氏(バース大学)とUdo Hertrich-Jeromin氏(ウィーン工科大学)との共同研究で、離散オメガ曲面の理論を新たに構成し、任意の3次元空間型内の離散線形ワインガルテン曲面がこの特別な例となることを示した。特に、離散曲面に対するLawson変換を新たに定式化した。この変換は、空間型内の平均曲率一定曲面に対するLawson対応の一般化である。
2) F. Burstall氏、Udo Hertrich-Jeromin氏、Mason Pember氏(ウィーン工科大学)との共同研究で、ゲージ理論的なアプローチを用いて、多項式の保存量を持つ連続的なオメガ曲面を特徴付た。これによって、Darboux変換の理論をより一般の曲面に適用できるようになった。
3) 安本真士氏(大阪市立大学)との共同研究で、Weierstrass型の表現公式を持つ半離散曲面に現れる特異点の解析を行った。これは前年度のWeierstrass型の表現公式を持つ離散曲面の研究(同じく安本氏との共同研究)の継続課題である。半離散的な場合には、離散な
場合には現れなかった興味深い特徴が現れることが分かった。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの結果を踏まえ、次年度は以下の問題に取り組む。
1) Burstall氏、Hertrich-Jeromin氏、Pember氏と共同で、新たに離散オメガ曲面の理論を完成させ、それらに対するDarboux変換の理論を得る。今年度の研究成果1)、2)はこのための準備として行っており、これまでに開発したツールを用いて研究を行う。
2) 離散化された曲面に現れる大域的な性質、例えば、一般にWeierstrass型の表現公式を持つとは限らない一般の離散化された曲面に現れる特異点を解析する。この研究は引きき安本氏と共同で行う。
3) G. Szewieczek氏と共同で、離散曲面論を用いて「離散三重直交系」の研究を行う。離散三重直交系により、Guichard曲面の離散化が構成できると期待される。
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| Causes of Carryover |
旅費の誤差（96409円）があったので。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
また次年度の旅費に加えて使用する予定です。
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