2019 Fiscal Year Research-status Report
偏極代数多様体に対する小林・ヒッチン対応のケーラー・リッチ流の観点からの研究
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15K04848
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
中川 泰宏 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (90250662)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Einstein・Kaehler 計量 / Kaehler・Ricci ソリトン / 満渕ソリトン / 幾何学的不変式論 / 安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究に引き続き，偏極代数多様体の幾何学的不変式論の意味における安定性と定スカラー曲率 Kaehler 計量の存在とが同値になるという予想，いわゆる「偏極代数多様体に対する小林・Hitchin 対応」を中心に研究した．特に本年度までにえられた研究成果は，Einstein・Kaehler・Fano 多様体を底空間とするいくつかの複素直線束達の直和のコンパクト化として得られるトーリック束で,ある種の条件を満たすもの(論文では KSM 多様体と呼ぶことにした)の上で Kaehler・Ricci ソリトンの存在問題を解決した．ここで，Kaehler・Ricci ソリトンとは Einstein・Kaehler 計量のある種の一般化であり，Kaehler・Ricci 流の研究において重要な概念である．この結果は，Wang・Zhu によるトーリック Fano 多様体上の Kaehler・Ricci ソリトンの存在定理の一般化(相対化)となるものである．証明では Berman・Berndtsson による実 Monge・Ampere 方程式の理論を応用することにより，全く一般の状況で予想を証明することに成功した．これらの結果については，論文「Kaehler‐Ricci solitons on certain toric bundoles」にまとめて，Kyushu Journal of Mathematics に掲載された．また中村聡氏(埼玉大学・学振 PD)と共同研究により，中村氏のトーリック Fano 多様体上の満渕ソリトンに関する結果を KSM 多様体の場合に拡張することに，端的 Kaehler ベクトル場がファイバー方向に接しているという仮定の下で成功した．しかしながら，この仮定は本質的とは思えず，この仮定なして拡張されることが期待される．これらの事については今後の課題である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Einstein・Kaehler Fano 多様体を底空間とするトーリック束である種の条件を満たす空間(論文では KSM 多様体と呼ぶことにした)の上で Kaehler・Ricci ソリトンの存在問題を考察し，技術的な問題によって当初は考えているトーリック束の底空間が等質的な時でないと Kaehler・Ricci ソリトンの存在を示すことができそうにないと思っていたが，Berman・Berndtsson による実 Monge・Ampere 方程式の理論をうまく応用することにより，全く一般の状況で KaehlerRicci ソリトンの存在を証明することに成功した．これらの結果については，論文「Kaehler‐Ricci solitons on certain toric bundoles」にまとめて Kyushu Journal of Mathematics に掲載された．また中村聡氏(埼玉大学・学振 PD)と共同研究により，中村氏のトーリック Fano 多様体上の満渕ソリトンに関する結果を KSM 多様体の場合に拡張することに，端的 Kaehler ベクトル場がファイバー方向に接しているという仮定の下ではあるが成功した．
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| Strategy for Future Research Activity |
中村聡氏(埼玉大学・学振 PD)と共同研究をより発展させることにより，中村氏のトーリック Fano 多様体上の満渕ソリトンに関する結果を，端的 Kaehler ベクトル場がファイバー方向に接しているという仮定なしに KSM 多様体の場合に拡張したい．また，KSM 多様体の K 安定性や端的 Kaehler 計量の存在問題についても考察したい．このあたりのことについては新田泰文氏(東京理科大学)・斉藤俊輔氏(理化学研究所 AIP センター・京都大学高等研究院)と共同研究を開始している．
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| Causes of Carryover |
(理由)新型コロナウィルスの影響で当初予定していたいくつかの研究集会等に出席することができなかった．
(使用計画)使用しているコンピューターやプリンターの更新の必要があるので，それらに使用する予定である．
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