Studies on Kobayashi-Hitchin correspondence from the view point of Kahelre-Ricci flow

2020 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15K04848
• Research Institution: Kumamoto University
• Principal Investigator: 中川 泰宏 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (90250662)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: Einstein・Kaehler 計量 / Kaehler・Ricci ソリトン / 満渕ソリトン / トーリック Fano 多様体 / 安定性

Outline of Annual Research Achievements

これまでの研究に引き続き，偏極代数多様体の幾何学的不変式論の意味における安定性と定スカラー曲率 Kaehler 計量の存在とが同値になるという予想，いわゆる「偏極代数多様体に対する小林・Hitchin 対応」を中心に研究した．
特に本年度は，Yao や中村により示されたトーリック Fano 多様体上の満渕ソリトンの存在と一様的相対 Ding 安定性との関係に関する結果を KSM 多様体と呼ばれる空間上の場合にまで拡張することに概ね成功した．ここで KSM 多様体とは，Einstein・Kaehler 計量を持つ Fano 多様体を底空間とするいくつかの複素直線束達の直和のコンパクト化として得られる，トーリック Fano 多様体をファイバーとするファイバー空間で，ある種の条件を満たすものである．ただし，現段階では端的 Kaehler ベクトル場がファイバー方向に接しているという仮定の下での証明になっている．しかしながら，この仮定は本質的とは思えず，この仮定なしで証明されることが期待される．これらの事については今後の課題である．この研究成果は中村聡氏(沼津高専)との共同研究として得られたものであり，現在も進行中である．
また中村氏との共同研究では，Yao・中村のトーリック Fano 多様体上の満渕ソリトンに対する結果を，トーリック Fano 多様体上の σ-Einstein・Kaehler 計量の場合への拡張を目指す研究を開始した．ここで，σ-Einstein・Kaehler 計量とは，乗数 Hermite 構造に対する Esinstein・Kaehler 計量の一般化で，満渕ソリトンや Kaehler・Ricci ソリトンを含むような概念であり，満渕により導入されたものである．