2017 Fiscal Year Annual Research Report
Extremal measures on compact Kahler manifolds
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15K04853
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
辻 元 上智大学, 理工学部, 教授 (30172000)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ケーラー多様体 / 標準系 / 多重劣調和関数 / 複素多様体の変形 / モジュライ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
射影代数多様体の上のケーラー・リッチ流について、その標準束が擬正の場合に長時間解が正閉カレントの範囲で存在することはSong-Tianらによって知られていた。問題はこのケーラー・リッチ流の時間無限大での極限が存在するか？、また存在するとしたらどのようなものか？、ということであった。これについてベルグマン核の力学系を使って、代表者は与えられた射影代数多様体の標準束が「豊富(abundant)」の場合に、ケーラー・リッチ流の極限が存在し、それが標準測度から決まる準ケーラー形式になることを示しました。この手法から射影代数多様体の射影族に関して各ファイバー上のケーラー・リッチ流の族が対数多重列調和性を持つこと、一つのファイバーの標準束が「豊富」な場合には全てのファイバーで各ファイバーで標準測度から決まる準ケーラーカレントに収束することが従います。
これからコンパクト・ケーラー多様体のケーラー変形において各ファイバー上のケーラー・リッチ流の変動が対数多重劣調和性を持つことが射影代数多様体の射影的な変形の場合の類推として成り立つことが期待されますが、これについてもケーラー版の極小モデル予想の類似が成り立つ場合には、同様の結果が得られることが、G.Schumacherの計算を使って確かめることができました。これは今後、コンパクト・ケーラー多様体の場合にも一般化されることが期待されますが、これにはコンパクト・ケーラー多様体に関するスケール付きの極小モデル理論をある程度構築する必要があります。これについては進展がありませんでした。
しかしながら、現状ではケーラー・リッチ流の極限の存在、及びその極限の記述については一つのファイバーで標準束が「豊富」という条件を外すことができておらず、この条件を取り除くことが今後の課題になります。
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