2017 Fiscal Year Research-status Report
ウィッテン摂動を用いたディラック型作用素の指数理論とその応用
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15K04857
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
吉田 尚彦 明治大学, 理工学部, 専任講師 (70451903)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 幾何学的量子化 / Lagrange ファイバー束 / integral affine 多様体 / 断熱極限 / Theta 関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前量子化束付きLagrangeファイバー束のSpin-c Dirac作用素の指数がBohr-Sommerfeldファイバーの個数と一致する現象がしばしば観察されている．この現象について，具体例でDirac作用素の核の元の断熱極限を考察したところ，サポートがBohr-Sommerfeldファイバーの近傍に集中することが分かった．また，古田幹雄氏、藤田玄氏との共同研究で扱っていたDirac型作用素の摂動と関係があることも分かった．これを踏まえて，今年度は断熱極限の観点からLagrangeファイバー束のDirac作用素の指数とBohr-Sommerfeldファイバーとの関係を研究し，以下の成果を得た．
Lagrangeファイバー束の底空間は整アフィン多様体になる．また，整アフィン多様体の普遍被覆からユークリッド空間の開集合へのはめ込みがあることも知られており（これを展開写像という），展開写像が普遍被覆とユークリッド空間との同型写像になるとき，整アフィン多様体は完備とよばれる．
Lagrangeファイバー束の底空間が完備である場合，Lagrangeファイバー束の底空間の普遍被覆への引き戻しは，ユークリッド空間上の標準的なLagrangeトーラス束になる．このとき，全空間のシンプレクティック形式と整合的な概複素構造は全空間からSiegel上半空間への滑らかな写像と一対一に対応する．今年度は，概複素構造が定値写像と対応する場合に（このとき，概複素構造は可積分である），前量子化束の，Bohr-Sommerfeld ポイントで添え字づけられた正則切断の族で正則切断の空間の基底をなすものが具体的に記述できた．特に全空間がコンパクトな場合，Spin-c Dirac作用素の指数はBohr-Sommerfeldポイントの個数と一致する事が分かった．この成果について，現在、論文を執筆中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでは家庭の事情により，当初の計画よりも研究が遅れていたが，今回得られた成果は，全てが具体的に記述されている為，先行結果との関係や新たな試みを行う際，具体的な考察が可能になった．また，今後の研究の推進方策で述べるように，今回の結果はTheta 関数を特別な場合として含む．そのため，Theta関数の理論の一般化が期待される．以上のことより，これまでの遅れを取り戻す大きな進展であると捉えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
今回得られた正則切断の具体的な記述を見ると，断熱極限でこれらのサポートは対応するBohr-Sommerfeldファイバーに集中していることが期待される．このことを厳密に証明したい．
また，概複素構造が定値写像でない場合，まずは成分が多項式の場合に今回得られた結果の一般化を試みる．このような場合の典型例が小平-Thurston多様体で，この場合にはUribe-Kirwin や Egorovによる先行研究があるので，これらとの関係を明らかにする．
今回の結果は，abelian variety を含む．この場合に，今回の結果を適用すると，正則切断の空間の基底をなす正則切断は，関数倍を除いて，Theta関数と一致する事が分かる．この関数倍の差は，前量子化束の自明化の取り方の違いに由来するものと考えられる．この意味で，今回得られた正則切断の族は，Theta関数の一般化と考えることが出来る．そこでまずは，Theta関数の理論，特に，Heisenberg群の表現論との関係をこれらの場合に一般化したい．
今回の結果は，非特異（特異ファイバーがない）Lagrange fibrationについての結果である．一方で，Riemann面上の平坦SU(2)束のモジュライ上のGoldman系や複素旗多様体上のGelfand-Cetlin系など，重要なLagrange fibration は特異ファイバーをもつ．そこで，今回の結果を特異ファイバーのある場合にも一般化したい．まずは非退化楕円型特異点を持つ場合（これはトーリック多様体の運動量写像に現れるような特異ファイバーを持つ場合）を扱いたい．今回の結果では，Lagrangeファイバー束の底空間は境界を持たない整アフィン多様体であったが，この場合は底空間は角付き整アフィン多様体に対応する．従って，今回の結果を角付き整アフィン多様体に拡張したい．
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| Causes of Carryover |
（理由）前年度未使用額を消化しきれなかった為．
（使用計画）今年度はすでに国内外の複数の研究集会や国際会議への参加予定があるので，旅費として使用する予定である．
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