2019 Fiscal Year Annual Research Report
Index theory for Dirac-type operators using Witten's deformation and its applications
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15K04857
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
吉田 尚彦 明治大学, 理工学部, 専任講師 (70451903)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 幾何学的量子化 / Lagrangeファイバー束 / Spin-c 量子化 / 実量子化 / 断熱極限 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kostant-Souriauによる幾何学的量子化において，シンプレクティック多様体から量子Hilbert空間を構成する為には偏極と呼ばれる付加構造が必要になる．その為，得られた結果が偏極の選び方に依存するかどうかが問題になる．これについて，最近の研究でKahler偏極の1係数族をうまくとるとその極限として実偏極が現れることがいくつかの実例で明らかになった．一方，シンプレクティック多様体上の可積分とは限らない概複素構造に対しても，Kahler偏極を用いた量子化を一般化したSpin-c量子化と呼ばれる方法がある．そこで本研究では，Lagrangeファイバー束に対して，Spin-c量子化の断熱極限と実偏極を用いた幾何学的量子化の関係を調べ，前年度までに次の成果を得た．Lagrangeファイバー束の底空間がアファイン幾何学の意味で完備であり，概複素構造がファイバーに沿って不変である場合に，前量子化束の切断の直交族{s_b | bはBohr-Sommerfeld点}で次を満たすものを構成した．
1. Dを概複素構造に付随するSpin-c Dirac作用素とするとき，各Ds_bは断熱極限で0に収束する．
2. 各s_bは，断熱極限で対応するBohr-Sommerfeldファイバーに台を持つデルタ関数に収束する．
この結果はSpin-c量子化の断熱極限として実偏極を用いた幾何学的量子化が現れることを意味する．概複素構造が可積分な場合には，ある技術的な仮定の下で，s_b達を正則切断の空間の基底になるようにとることが出来る．
Lagrangeファイバー束の全空間上の関数fに対して前量子化束の切断の空間上に線型作用素Q(f)が定まるが，今年度は概複素構造が可積分である場合に，Q(f)が上述の族{s_b}を保つ為の必要十分条件と，その場合に作用素の{s_b}に関する表現行列を求めることができた．
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