2016 Fiscal Year Research-status Report
幾何構造に付随した微分作用素に対する恒等式の幾何学への応用
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15K04858
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
本間 泰史 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50329108)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | スピン幾何学 / ワイゼンベック公式 / ラリタ-シュインガー作用素 / ディラック作用素 / 幾何構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までの研究において，Dirac作用素などの幾何学的１階微分作用素「generalized gradient」に対する準同型タイプ-ワイゼンベック公式の一般理論を作った．平成28年度の研究では，昨年度に引き続きそれらの公式を幾何学や理論物理学へ応用することを目標とした．特に，理論物理学で重要なラリタ-シュインガー作用素の応用を考察した．具体的には，(1)微分位相幾何学における楕円種数やWittenによるgravitational anomalyとの関連性，(2)高次ワイゼンベック公式と曲率微分項による不変量の構成，(3)8次元スピン多様体上でのラリタ-シュインガー作用素は特殊な現象が現れるため，「PSU(3)構造」との関連性，などについて調べた．現時点では，興味深い研究成果は得られていないが，どの方向も進展の余地があることが理解できた．また，「特殊スピノール場」と「幾何構造をもつ多様体上のインスタントン解」及び「幾何構造をもつ多様体の埋め込み理論」との関連性について考察した．こちらもよい成果は未だ得られていない．なお，ラリタ-シュインガー作用素の研究は，ドイツSemmelmann氏との共同研究の一部である．
本研究課題の基礎事項を一冊の本として纏め上げ「スピン幾何学 -スピノール場の数学-」（日本語）を出版した．スピノール場と表現論の話題，G2・Spin(7)・四元数ケーラー構造など幾何構造の話題について詳しく述べてあり，スピン幾何学の基礎から最先端の研究までが理解できる本となっている．また，隔年で実施している研究会「量子化の幾何学2016」を早稲田大学にて開催し，本研究課題に関連した話題「prolongation problem」「量子論におけるディラック作用素」の研究者らを招き（その他にも，国内外研究者数名），有意義な研究討論を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
平成２８年度の春学期中は研究は進んでいたが，後半の秋学期（～平成２９年度春学期）から学科主任の役職に就いたため多忙を極め，研究時間があまり取れなかったことが遅れの主な理由である．当初予定していた海外研究者との研究打ち合わせをキャンセルしたので，共同研究も平成２８年度後半からあまり進まなかった．
数学では一般論を作り研究の戦略を得ることは可能だが，具体的な計算するのが困難な場合がよくある，また，この分野では数値計算などの実験的な結果では研究成果とはならない．本研究課題においても，革新的な成果を得るには，様々な計算の工夫が必要であり多くの時間がかかる内容が多い．研究時間が取れれば，この状況を克服することができるであろう．
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）まず，上記の「研究実績の概要」で述べた，ラリタ-シュインガー作用素と曲率微分項を含む恒等式を計算する．これはラリタ-シュインガー作用素に対する斬新かつ前例のないアプローチであり，微分幾何学への応用が期待できる．また，幾何構造に付随した準同型ワイゼンベック公式を完成させ，対称空間（特に，複素射影空間や四元数射影空間）上の一般ラプラス作用素に対する固有値計算，ラリタ-シュインガー作用素に対する固有値計算を行う．時間的に余裕があれば対称空間上の捻じれディラック作用素に対する固有値評価を与える．これまでの考察から，これらの問題は計算可能であることがわかっており，アイデアもあるため，あとは計算の工夫・研究時間の確保の問題といえよう．そして，研究成果を論文としてまとめ，学術誌に発表する．
（２）本研究の目的の一つである四元数ケーラー幾何学への問題に取り組む．さらに，特殊スピノール（generalized Killing spinor）とgenerelized gradientsの関係を調べ，開発したワイゼンベック公式を応用することで特殊スピノールに関する未解決問題へ挑戦する．これらのことは，どこまで成果が得られるかは不明であるが，今後の研究の足掛かりとしたい．
以上（１）（２）の研究を推進するにはスピン幾何学・四元数ケーラー幾何学の研究者（その多くは海外研究者）との討論が不可欠である．特に，共同研究者であるSemmelmann氏との議論が必要なので，年度中に２回はドイツへ出張を行う．また，必要に応じて海外研究者と研究打ち合わせを行う．さらに，得られた研究成果を国際会議で発表する．このように，研究費は主として海外旅費・招聘費と利用する．
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| Causes of Carryover |
平成２８年度の後半（～平成２９年度前半）は，学科主任の役職に就いたため，予定していた海外出張をすることが困難であった．そのため，次年度使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本研究課題を推進するには，スピン幾何学の専門家との議論が不可欠であり，その専門家の多くは海外研究者である．実際，研究代表者はドイツやベルギーの研究者と本研究課題または関連した話題について共同研究を行ってきた，本研究課題を推進するため，平成２９年度後半において，共同研究を進めるべく海外出張を行う．
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