2017 Fiscal Year Annual Research Report
Study on identites for generalized gradients associated to geometric structures and their applications
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15K04858
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
本間 泰史 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50329108)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ラリタ-シュインガー作用素 / アインシュタイン多様体 / 幾何構造 / 対称空間 / 幾何構造 / スピン幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２９年度の研究では，Stuttgart大学のSemmelmann氏との共同研究により「ラリタ-シュインガー作用素（以下，RS作用素）の核」と「主要な幾何構造」との関係を解明した．幾何学・物理学においてインパクトのある研究成果といえる．
まず，非負スカラー曲率のアインシュタイン多様体上でRS作用素の核（零固有空間）とRS場全体が一致することを示した．RS場とは物理学では重力アノマリー理論などに登場し，幾何学でもPSU(3)構造を与えるなど重要な研究対象である．このRS場について次の研究成果を得た：（１）非自明なRS場をもつ（正および負の）ケーラー・アインシュタイン多様体の例を与えた．（２）非自明なRS場をもつコンパクト型既約対称空間は8次元であり，Gr_2(C^4)，HP^2, G_2/SO(4)，SU(3), SO(6)/SO(2)SO(4)に限ることを示した．これらのRS場はすべて平行場である．（３）正の四元数ケーラー多様体で非自明なRS場をもつものは，Gr_2(C^4)，HP^2, G_2/SO(4）の3つに限ることを示した．（４）カラビ-ヤウ多様体，超ケーラー多様体のRS場の次元をホッジ数を用いて記述した．また，非自明なRS場をもつフェルマー曲面の例を与えた．Spin(7)多様体，G_2多様体のRS場の次元をベッチ数を用いて記述した．（５）平行3/2スピノールをもつコンパクト既約多様体の分類定理を与えた（超ケーラー及び（２）の対称空間に限る）．
以上の研究成果を論文としてまとめ学術誌へ投稿した．さらに，積多様体上での公式や対称空間上でのスペクトル計算の方法も得た．
また，Antwerp大学のEelbode氏，Janssens氏との共同研究を行い，ゲーゲンバウアー多項式の一般化とグラスマン多様体上のスピノール解析の研究を行った．この研究は今後も継続する．
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| Remarks |
本研究の研究成果を論文として学術誌に投稿中：国際共著論文 Yasushi HOMMA and Uwe SEMMELMANN, ``The Kernel of The Rarita-Schwinger operator on Riemannian spin manifolds'', math-arxiv:1804.10602
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