2020 Fiscal Year Annual Research Report
The study on the deformation space of periodic minimal surfaces and its applications
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15K04859
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656)
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2015-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Riemann surface / minimal surface / flat torus / Morse index / signature |
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| Outline of Annual Research Achievements |
n次元平坦トーラスの向き付け可能、種数gの極小曲面のMorse indexを求めるために変形空間の構造を研究する。その基本的な考えは、その変形空間を、リーマン行列全体のなす空間上のパラメーターを持つエネルギー関数のcritical pointの全体と考えることである。一般理論よりcritical pointの全体からパラメータ空間のcotangent bundleへのisotropic mapが存在する。パラメーターを増やして、critical pointの全体が種数gリーマン面からn次元ユークリッド空間へのmultivalued branched minimal immersionsの空間とすると、Pirola, Arezzo and Pirolaの結果により、このcritical point全体は、complex analytic setとなる。パラメーター空間のcotangent bundleは、2ng次元 complex symplectic vector spaceで上記のisotropic mapはcomplex isotropic mapを与える。この写像は、実際にはcomplex period mapとなることが示される。特に、このcomplex analytic setのirreducible componentがnon-degenerate critical pointを持てば、complex period mapはcomplex Lagrangian coneを与える。このことよりnon-degenerate critical pointsの各connected componentにspecial pseudo Kaehler structure with signature (p,q)を導き、q とMorse indexとの不等式を与え、Morse indexを求めるalgorithmを得た。この結果は、Pirola、Arezzo and Pirolaの結果を深めており、Comm. Anal. and Geom. に掲載予定である。さらに、このalgorithmを用いて３次元平坦トーラス内の種数３のembedded minimal surfaceの２つのfamilyであるrG familyとtG familyのMorse indexとsignatureを求めた共著論文がMathematics 2020, 8(10)に掲載された。
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