2015 Fiscal Year Research-status Report
アフィン接続が与えられた多様体の幾何の多角的研究とその応用
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15K04861
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
黒瀬 俊 関西学院大学, 理工学部, 教授 (30215107)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 中心アフィン平面曲線 / 曲線の運動 / 曲線の空間 / 非収束型変形KdV方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / ハミルトン系 / ミウラ変換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アフィン接続が与えられた多様体およびその部分多様体の幾何のうち、本年度は主として一般線形群の作用のもとでのアフィン空間の図形の性質を調べる中心アフィン幾何と、アフィン平面曲線や空間曲線の運動に現れる可積分系の２項目について研究をすすめ、以下のような成果を得た。
1. 中心アフィン幾何については特に中心アフィン平面曲線論に重点をおいて研究を進め、中心アフィン曲率の正負や周期性と曲線の概形の関係についていくつかの結果を得た。また閉中心アフィン平面曲線の周期を具体例を通じて調査し、それが正の下限を持つとの予想を得た。中心アフィン幾何は平面曲線も含めあまり詳しく調べられておらず、以上の成果は今後の研究を進める上で基礎となるものである。
2. 非収束型変形KdV方程式と呼ばれる可積分系方程式が付随する中心アフィン平面曲線の運動に対して、閉中心アフィン平面曲線の空間におけるハミルトン系としての記述を与え、さらに変形KdV方程式の解とKdV方程式の解の間のミウラ変換を、中心アフィン平面曲線の空間と等積中心アフィン平面曲線の空間の間の変換として幾何化した。この結果はこれらの運動の離散化を研究していく上でも一つの指針を与えるものと考えられる。また、空間曲線の渦糸方程式に従う運動に対応するリーマン球面上の曲線の運動を調べ、特に非線形シュレディンガー方程式が付随するリーマン球面上の閉曲線の運動が三重ハミルトン系として記述されることを見つけた。これはこれまで知られていた可積分系方程式が付随する曲線の運動には見られなかった現象であり、この相違が何に由来するものであるかを調べることは今後の大切な課題の一つであると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は当初、(1) アフィン空間内の曲線の運動に現れる可積分系方程式の研究、(2) ヘッセ断面曲率が一定のヘッセ構造の分類問題の研究の二つを並行して進めることを計画していた。このうち、(1)については「9. 研究実績の概要」に述べたように、次年度の研究につながる十分な成果を得ることができた。一方、(2)については、本年度は情報機器の能力向上を図れなかった（「12. 今後の研究の推進方策等」参照）等の理由のため、部分的な結果にとどまり、成果として形となるところまでは到達できなかったが、その代わり古典的微分幾何の中でもあまり発展していなかった中心アフィン幾何について研究を進め、特に平面曲線について基礎理論を超えた発展的な内容に関するいくつかの成果を上げることができた。また次年度以降への準備として、リーマン幾何における撞球の理論や、等質ヘッセ多様体などについての資料や情報の収集を進めており、本研究課題は全体としてみればおおむね順調に進捗していると言えると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究はおおむね順調に進展しているので、今後の研究は基本的には本研究課題の交付申請書で述べた実施計画に沿って進める。すなわち、可積分系が現れる曲線の運動および中心アフィン平面曲線の幾何に関して得られた本年度の成果を一層発展させる。また、コンピュータ・システムのハードウェア能力の向上を図り、本年度は十分に進展させられなかったヘッセ断面曲率一定のヘッセ多様体の分類問題の解決を目指す。さらに、平坦なアフィン接続があたえられた多様体の接束が、双曲的な複素多様体になるための条件の考察・アフィン平面の凸領域における撞球の力学的性質の研究にも準備が整い次第とりかかっていく予定である。
なお、研究経費は上に述べた情報機器の能力向上のほか、本研究課題に関連する諸分野の学会・研究集会への参加あるいは専門家のもとへの訪問ないし招聘に使用し、必要な情報収集・交換や研究打ち合わせ、成果発表を活発に行う予定である。
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| Causes of Carryover |
本年度は本研究課題に関連すると考えられる内容をあつかった研究集会が多くあり、これらにできるだけ参加することが、情報収集や他参加者との意見交換などを行う重要な機会として研究上非常に有益であると考えられたため、研究経費について当初予定していた内訳を変更し、旅費として使用することを優先した。そのため、本年度の予算では、コンピュータなど情報機器について本研究で要求される能力を持った機器を購入するには十分ではなく、また次年度に同程度の価格でより高度の能力をもった機器を取得した方が結果的には以後の研究を効率よく進められるとの判断から本年度の購入を見送った結果、次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額と本来の請求助成金を合わせたうち、50％程度（約45万円）を使用して、本研究を遂行する上で必要とされる能力を持つ情報機器を購入する。また残額は、一部は専門的知識の提供に対する謝金や通信費にあてるが、そのほとんど（約40万円程度）は旅費として使用し、情報・資料収集および研究打ち合わせを行う。
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