アフィン接続が与えられた多様体の幾何の多角的研究とその応用

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04861
• Research Institution: Kwansei Gakuin University
• Principal Investigator: 黒瀬 俊 関西学院大学, 理工学部, 教授 (30215107)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 情報幾何 / 最適輸送問題 / q-エントロピー / 双対平坦 / 円周の微分同相群 / 等積中心アフィン曲線

Outline of Annual Research Achievements

令和元年度は、有限集合上の確率分布の空間における最適輸送問題の双対平坦幾何的研究と、等積中心アフィン曲線論を用いた円周の微分同相群の研究の二つを主として行い、具体的には以下の成果を得た。
１．有限集合上の確率分布の空間における最適輸送問題の解空間上に、双対平坦な幾何構造を導入し、その情報幾何な性質を調べた。このような最適輸送問題は単純なコスト関数だと線形計画問題になるため、一般に境界条件に対する最適解の滑らかさを保証することができない。そこで本研究では、有限集合上の確率分布族をq-正規分布族とみなし、コスト関数をq-エントロピーを用いて変形することによって、初期条件に滑らかに依存する最適解を構成した。そして、これを用いて解空間上に、双対平坦構造を自然な形で誘導できることを示し、さらにこの最適輸送問題で得られる最適コスト関数が、この双対平坦構造の双対ポテンシャル関数に一致することを示した。これらの結果は数学的に整っているだけでなく、いくつかの応用分野、例えば画像処理や信号処理、AIなどへの応用が見込めるものと考えている。また、最適コスト関数を使った新たなダイバージェンス関数も提案したが、その性質や応用を調べることは今後の課題である。
２．前年度は、円周の向きを保つ微分同相群Gが等積中心アフィン平面閉曲線の空間Mに自然に作用することを用いて、G上に２つの不変閉2-形式を導入し、その性質を調べた。令和元年度はそれを発展させ、G上に誘導された閉2-形式のモーメント写像の性質や、Gのリー環のコホモロジー群の生成元との関係を調べた。また、高次元空間の等積中心アフィン曲線論を用いてこれまでの成果を一般化するため、高次元等積中心アフィン曲線論に現れる複数の曲率がGの作用によってどのように変化するかを調べた。この結果はこの方向で研究を進めていく上で基礎となるものである。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

「研究実績の概要」で述べたように、令和元年度は主として（1）有限集合上の確率分布の空間における最適輸送問題の情報幾何的側面、（2）等積中心アフィン曲線論と円周の向きを保つ微分同相群の関係、の二項目について研究を進めた。（1）は本研究で当初設定した具体的な研究項目の中にはあげていなかったものであるが、他の項目で研究対象としているヘッセ多様体や統計多様体の幾何と密接に関連して、その応用という側面を持っているため、上記結果は本研究課題を進捗させるものであると言える。
（2）は研究計画であげた項目「アフィン空間内の曲線の運動に現れる可積分系方程式」の研究を進めていくうちに派生・発展してきた研究テーマであり、事前には予想できなかった非常に興味深い広がりを持つものであることが明らかになりつつある。
このように、令和元年度は今後につながると思われる結果を得ることができた点で、本研究課題はある程度進捗したと言えるものの、研究以外の業務で多忙だったため、最終年度であったにもかかわらず、得られた結果を十分検討し成果としてまとめることができなかった。そこで、令和元年度の進捗状況は「（3）やや遅れている」と評価する。

Strategy for Future Research Activity

本研究は、平成３０年度までは順調に進展していたが、令和元年度は諸般の事情により進捗がやや遅れる状況となった。そのため、本来は令和元年度が本研究課題の最終年度であったが、補助事業期間の延長を願い出、令和２年度が本研究課題の最終年度となった。このことを念頭に置き、令和２年度はこれまで得られた研究成果や知見を十分に検討し、成果としてまとめることに努める予定である。特に、「研究実績の概要」で述べた二つの項目は、本研究課題でもっとも展開させることのできた題材であり、今後も大きく発展する可能性の高い内容を持っているものと思われるので、この二項目を中心に掘り下げ、集成することを考えている。
以上の計画を遂行するため、研究経費は、通常ならば主としてテーマに関連した学会・研究会への参加や共同研究者との研究打ち合わせのための旅費に使用するところであるが、昨今の状況により当分の間移動を伴う研究活動は難しいと思われる。そこで、情報収集・交換や成果の可視化に使用するための情報機器とソフトウェアの購入や、関連図書の入手に研究経費のかなりの部分を割く予定である。

Causes of Carryover

（次年度使用額が生じた理由）研究経費のかなりの部分を旅費として使用する予定にしていたが、研究以外の業務が多忙であったため、出張を絞らざるを得ず、さらに年度の終盤には参加予定だった学会・研究会が軒並み中止になったため、次年度使用額が生じた。
（使用計画）研究課題に関連した情報収集・交換や共同研究者との研究打ち合わせ、成果の可視化に使用するための情報機器と関連ソフトウェアの購入や、関連図書の購入に研究経費の多くをあてる計画である。