2020 Fiscal Year Research-status Report

アフィン接続が与えられた多様体の幾何の多角的研究とその応用

Research Project

Project/Area Number	15K04861
Research Institution	Kwansei Gakuin University
Principal Investigator	黒瀬俊関西学院大学, 理工学部, 教授 (30215107)
Project Period (FY)	2015-04-01 – 2022-03-31
Keywords	情報幾何 / 最適輸送問題 / 確率分布の空間 / 等積中心アフィン曲線論 / 円周の微分同相群
Outline of Annual Research Achievements	本研究はもともと令和元年度をもって終了する計画であったが、諸般の事情により最終年度の研究の進捗状況が芳しくなかったため、令和２年度まで補助事業期間の延長を願い出て承認されたものである。延長を願い出た時点での計画では、延長期間中に「有限空間上の確率分布における最適輸送問題の情報幾何的側面」および「等積中心アフィン曲線論と円周の向きを保つ微分同相群の関係」の二項目の研究を深め、さらにこれまでアフィン接続が与えられた多様体の幾何に関して得られた研究結果や知見を検討・総合して、成果としてまとめることに努めるはずであった。しかしながら、新型コロナウィルスの流行が続く中、大学における教育や運営に相当の労力と時間が必要とされた一方で、研究を進展させるために必要な共同研究者との研究打ち合わせや関連する研究についての資料収集・情報交換はかなりの制限を受けることとなり、研究のエフォートを大きく下げざるを得なかった。そのため、令和２年度は研究を大きく進展させることよりも、研究環境が好転した際の便に供することを目標に、これまでの研究成果を再検討し現在の観点から整理することを優先させた。その結果、有限空間上の確率分布の空間における最適輸送問題の解空間上に構成した双対平坦構造の情報幾何的性質について、これまで見逃していたいくつかの課題があることがわかり、円周の微分同相群の研究に関してもこれまでの研究を一般化するいくつかの方向を見出した。これらは本研究を進展させる上で大きな手がかりになるものと考えられる。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 「研究実績の概要」で述べたように、新型コロナウィルスの流行の影響によって大学の業務に相当の労力と時間をかける必要があった一方、共同研究や資料収集・情報交換は大きく制限を受けたため、研究に対するエフォートは下げざるを得なかった。そのため、研究を大きく進展させることよりも、これまでの研究成果を再検討し現在の観点から精査・整理することを優先させた結果、今後の研究に有益と考えられるいくつかの発見と着想を得ることはできたが、本来令和２年度に計画していた目標からすると「（４）遅れている」と評価せざるを得ない。
Strategy for Future Research Activity	新型コロナウィルス流行の影響により令和２年度は予定していた計画をほとんどすすめられなかったが、幸い今回令和３年度まで補助事業期間の延長が承認されたので、令和２年度の計画をそのまま令和３年度に繰り越して遂行したいと考えている。具体的には、「有限空間上の確率分布における最適輸送問題の情報幾何的側面」および「等積中心アフィン曲線論と円周の向きを保つ微分同相群の関係」の二項目の研究を深める。この二項目は本研究課題においてもっとも進展させることのできた題材であり、今後も大きく発展する可能性を持っているものと考えている。さらに、ここで得られた成果を軸にし、これまでアフィン接続が与えられた多様体の幾何に関して得られた研究結果や知見を総合して、成果としてまとめることが目標である。ただし、令和３年度も研究者の移動を伴う研究活動は容易ではないと思われることから、インターネット上での研究交流をメインに行い、研究経費は主として関連文献の入手、情報収集・交換のための情報機器とソフトウェアの購入や成果公開のための経費として使用する予定である。
Causes of Carryover	（次年度使用額が生じた理由）研究経費は研究打ち合わせや文献資料収集・情報交換のために用いる予定であったが、新型コロナウィルス流行の影響により研究活動が大きく制限を受けた結果、令和２年度はまったく経費を使用する機会がなかったため。（使用計画）令和３年度も移動を伴う研究活動は困難である可能性が高いと思われることから、研究経費は主として関連文献の入手、インターネットを通じた情報収集・交換のための情報機器とソフトウェアの購入や成果公開のための経費として使用する計画である。