2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04862
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
松浦 望 福岡大学, 理学部, 助教 (00389339)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 曲線短縮方程式 / アフィン球面 / 離散曲線 / 離散微分幾何 / 差分幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度にひきつづき離散微分幾何の立場から曲線や離散曲線の変形を考察した。成果は次の二点である。その一（曲線短縮方程式の半離散化）：昨年度までの研究では、曲線の変形のうち可積分なものに主眼をおいて研究を進めてきたが、今年度は曲線の非可積分な変形公式として知られている曲線短縮方程式の半離散化（曲線は離散化するが変形は連続的に行うもの）を考察した。これまでの離散微分幾何の研究で培った離散曲線の理論を適用することで、半離散曲線短縮方程式を導出した。曲線短縮方程式の解としては例えばグリムリーパーと呼ばれる進行波解が知られているが、今後は半離散曲線短縮方程式のグリムリーパー解を構成すること、および離散曲線短縮方程式の導出とその進行波解の構成、などを目指して研究を進める予定である。その二（離散アフィン球面の構成）：空間離散曲線の離散的変形として離散不定値アフィン球面が構成できることを示した。今後は、明示公式の導出（離散ツィツェイカ方程式の多重ソリトン解を用いて離散不定値アフィン球面の位置ベクトル成分をすべて明示的に書き下すこと）が研究課題となる。以上のほかには、昨年度来の研究成果を共同研究者らと共に論文にまとめ、出版した。以下に出版論文の内容をのべる。等積中心アフィン幾何における平面曲線の変形ではKdV方程式を用いた等積変形が代表的だが、一方で、中心アフィン幾何における平面曲線の変形ではdefocusing型のmKdV方程式を用いた変形が自然に登場する。当該論文ではこれらの変形を定式化し、両変形を結ぶミウラ変換も導出した。さらにKdV方程式による等積変形の明示公式も求めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究が当初の計画どおりに進展したため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究成果を基盤として以下のことに取り組む。(1)中心アフィン幾何における離散曲線の離散変形を調べ、離散mKdV方程式の多重ソリトン解を用いて明示公式を構成する。(2)離散ツィツェイカ方程式の多重ソリトン解を用いて離散不定値アフィン球面の明示公式を導出する。また、離散正則関数を用いて離散定値アフィン球面の表現公式を導出する。(3)曲線短縮方程式の離散モデルを提案し、その解を構成する。
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| Causes of Carryover |
次年度に国際研究集会「第13回差分方程式の対称性と可積分性に関する国際会議（SIDE13）」を開催するため。
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