リーマン多様体内の１次元弾性体の数学的モデルとその応用

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04863
• Research Institution: University of Hyogo
• Principal Investigator: 川久保 哲 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (80360303)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: キルヒホッフ弾性棒 / 弾性曲線 / 変分問題 / 渦糸 / 局所誘導階層 / ソリトン曲線 / 変形KdV方程式

Outline of Annual Research Achievements

平成29年度もこれまでに引き続き，ソリトン曲線の研究を行った．ソリトン曲線は，もともとは３次元ユークリッド空間内で定義されたものであったが，一般の向き付けられた３次元リーマン多様体内の概念に拡張することができる．特に３次元空間形内のソリトン曲線の研究は，曲面論への応用が知られており，興味深い対象である．研究代表者は以前に，３次元空間形内のソリトン曲線の円柱座標表示を，その曲率と捩率を用いて陽に表示した．今年度は，この証明の細部を埋めて完成させ，論文 "Soliton curves in three-dimensional space forms" にまとめて，学術雑誌に投稿した．
また，局所誘導階層，及びソリトン曲線をある種のエルミート対称リー代数内に拡張する研究も行った．これに関してはランガーらによって再帰作用素が求められているが，階層の陽な表示にはなっていない．そこで，これを改良して階層を陽に表すことを試みた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

平成29年度は局所誘導階層，及びソリトン曲線をある種のエルミート対称リー代数内に拡張する研究を行った．一方，これとは別の課題として，３次元ユークリッド空間内のフレネ捩率が一定ではない第４ソリトン曲線の中に，周期的なものが存在することを証明する，という事があったが，これに関してはまだ完全な証明が完成していない．そのため，研究はやや遅れている，と考えている．

Strategy for Future Research Activity

まず，３次元ユークリッド空間内における研究であるが，これに関しては，フレネ捩率が一定ではない第４ソリトン曲線の中に，周期的なものが存在するという事の証明を完成させる．次に，エルミート対称リー代数内の局所誘導階層，ソリトン曲線の研究であるが，これに関しては，ランガーらが求めた再帰作用素による表示を陽な形で表す事が目標の一つである．

Causes of Carryover

（理由）物品の購入を延期したため，また一部の出張を中止したため，未使用額が生じた．
（使用計画）購入を延期していた物品を購入する．また，関連の深い研究を行っている研究者と討論を行うため，出張を行う予定である．平成29年度の未使用額はこれらのために使用する予定である．