Mathematical models on one-dimensional elastic bodies in Riemannian manifolds and their applications

2019 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15K04863
• Research Institution: University of Hyogo
• Principal Investigator: 川久保 哲 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (80360303)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: キルヒホッフ弾性棒 / 弾性曲線 / 変分問題 / 渦糸 / 局所誘導階層 / ソリトン曲線 / 変形KdV方程式

Outline of Annual Research Achievements

キルヒホッフ弾性棒の楕円テータ関数による表示式について研究した．３次元ユークリッド空間内のキルヒホッフ弾性棒には，エクスプリシットな表示式がいくつか知られている．代表的なものとしては，円柱座標による成分をヤコビのsn関数によって表示するもの（アイヴィーとシンガーによる結果等）がある．2019年度，研究代表者は未定係数法を用いることにより，キルヒホッフ弾性棒の直交座標成分を楕円テータ関数によってエクスプリシットに表した．この表示式を用いることにより，キルヒホッフ弾性棒の離散化の試みへの応用が期待できる．
また，３次元ユークリッド空間内において，ソリトンクラスのサブクラスに属する曲線である擬似平面的ソリトンについて研究した．擬似平面的ソリトンは，捩率一定弧長パラメータ曲線で，ある常微分方程式を満たすようなものとして定義される．カリーニとアイヴィーは，擬球面から擬球面への古典的なベックルント変換を，その漸近線に制限することによって，捩率一定弧長パラメータ曲線から捩率一定弧長パラメータ曲線へのベックルント変換を定義した．彼らは擬似平面的ｎソリトンをベックルント変換すると擬似平面的ｎ＋１ソリトンになる，という予想を行っている．研究代表者は2019年度，この予想の証明を試みた．もしこの証明が完成すれば，研究目的の一つである，閉ソリトン曲線がどのような結び目をなすか，という問題に対する知見が得られると期待できる．