2017 Fiscal Year Annual Research Report
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15K04864
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| Research Institution | Fukuoka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
塩濱 勝博 福岡工業大学, 付置研究所, 研究員 (20016059)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
永野 哲也 長崎県立大学, 情報システム学部, 教授 (00259699)
糸川 銚 福岡工業大学, 情報工学部, 教授 (90223205)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | フィンスラー多様体 / 非対称距離関数 / 凸性と凸関数 / 測地線 / 切断跡 / 共役跡 / ランダース計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸性は幾何学のみならず多くの数学の分野に於いて基本的な概念である．本研究では距離関数の非対称性によって引き起こされる種々の現象を捉え，リーマン幾何学とフィンスラー幾何学の相違を明らかにする事が中心的課題であった．凸性やその性質から導かれる諸現象は距離関数の非対称性に影響を受け難い性質がある．
凸関数を許容する完備フィンスラー多様体の位相に関する研究は殆ど進み，端点の個数評価，非連結等位集合を許容する多様体は位相的に最小値集合と直線との積多様体に同相となること，及び最小値集合は全測地的超曲面となる事を証明した．更に，狭義凸関数を許容する完備フィンスラー多様体の等長群についても調べた．
切断跡と共役跡との関係はリーマン多様体の場合とは異なる現象が起こる事も明らかになった．即ち，切断跡の最小点と共役点に関するBerger-Omoriの基本定理はフィンスラー多様体についても成り立つが，共役点と交わらない最小点に於けるKlingenbergの基本定理はフィンスラー多様体では異なる現象によって解明された．これらの基本的な性質をRauch予想とに関連において議論するとコンパクトなBlaschkeフィンスラー多様体の切断跡に関する重要な結果が示された．Rauch予想は完備非コンパクトなフィンスラー多様体では成立しない事も分かった．
ランダース計量を用いてKlingenbergの基本定理に対する反例を構成する事も出来た．この反例はフィンスラー計量とリーマン計量の相違を理解する困難さを表現する極めて重要な反例と言えるだろう．
フィンスラー多様体上の測地線はパラメーターを逆転すると測地線の性質を失う．このとき永野哲也は測地線の分岐現象に注目して分岐条件を研究した．
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