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2016 Fiscal Year Research-status Report

へガードフレアー理論を用いた結び目と写像類群の研究

Research Project

Project/Area Number 15K04865
Research InstitutionYamagata University

Principal Investigator

松田 浩  山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)

Project Period (FY) 2015-04-01 – 2020-03-31
Keywordsコード代数
Outline of Annual Research Achievements

3次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、結び目接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群を組み合わせ的に定義することに成功していた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより3次元球面内の結び目に対する完全不変量が得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により証明された。
上記の不変量は3次元球面内の結び目に対する不変量であるがこの不変量の構成を4次元球面内の2次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。昨年度はNg氏の組み合わせ的な定義を4次元球面内の2次元結び目に対して拡張し2次元結び目の表示方法の1つである3次元球面への射影図を使うことによりコード代数(結び目接触ホモロジー群の0次元部分)を構成した。この不変量はスパン三葉結び目と2ツイストスパン三葉結び目を区別しないという結果を昨年度に得ていたが、この結果は結び目接触ホモロジー群の高次元部分を定義するために必要であることが今年度分かった。またこの表示方法を使った1、2、3、4次元接触ホモロジー群の構成についての予想をたてることができた。
4次元球面内の2次元結び目の表示方法の1つとして切り口を使った3次元球面内のグラフによる表示方法が知られている。この表示方法を使って2次元結び目の不変量、コード代数(結び目接触ホモロジー群の0次元部分)、を定義することができた。この不変量はスパン三葉結び目と2ツイストスパン三葉結び目を区別することが分かった。またこの表示方法を使った1、2次元の結び目接触ホモロジー群の構成についての予想をたてることができた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

3次元球面内のグラフによる2次元結び目の表示方法を使うことにより2次元結び目の不変量を構成することができた。この不変量はスパン三葉結び目と2ツイストスパン三葉結び目を区別できる程度に強い不変量であることが分かった。

Strategy for Future Research Activity

3次元球面への射影図による2次元結び目の表示方法を使った結び目接触ホモロジー群の高次元部分の構成についての予想が成り立つことを証明する。また切り口を使った3次元球面内のグラフによる2次元結び目の表示方法使った結び目接触ホモロジー群の高次元部分の構成についての予想が成り立つことを証明する。

Causes of Carryover

得られた結果の細かい部分を確認するため論文の執筆を優先させていた。そのため研究発表旅費の使用を削減した。

Expenditure Plan for Carryover Budget

証明の細かい部分の確認が終わったので得られた成果を発表するため研究発表旅費のために使用する。

  • Research Products

    (2 results)

All 2017

All Presentation (2 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 2 results)

  • [Presentation] Homological invariants of surface-knots2017

    • Author(s)
      Hiroshi Matsuda
    • Organizer
      Differential Topology 17
    • Place of Presentation
      電気通信大学(東京都調布市)
    • Year and Date
      2017-03-29 – 2017-03-29
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 境界付き多様体のHeegaard Floer理論2017

    • Author(s)
      松田 浩
    • Organizer
      接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺
    • Place of Presentation
      金沢大学サテライト・プラザ(石川県金沢市)
    • Year and Date
      2017-01-19 – 2017-01-20
    • Invited

URL: 

Published: 2018-01-16  

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