へガードフレアー理論を用いた結び目と写像類群の研究

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04865
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: 松田 浩 山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: ホモロジー群

Outline of Annual Research Achievements

３次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、次数付き微分代数を構成し、結び目接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群の組み合わせ的な定義を与えていた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより３次元球面内の結び目に対する完全不変量を得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により示されていた。
上記の不変量は３次元球面内の結び目に対する不変量であるが、同様の構成を４次元球面内の２次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。２次元結び目の表示方法の１つとして３次元球面への射影図を使う表示方法が知られている。この表示方法を使って、２次元結び目に対して次数付き微分代数を構成し、２次元結び目の異なる射影図をつなぐ Roseman移動との関係について考察した。その結果、構成した次数付き微分代数はRoseman移動に関して安定同値と呼ばれる同値関係で不変であることが分かり、次数付き微分代数のホモロジー群は２次元結び目の不変量であることを証明できた。
この表示方法を使った研究においては、鎖群の微分写像が３重点の周りで自然に４種類構成された。そのため次数付き微分代数も４種類構成されている。現在は これら４種類の微分代数が異なる情報を持っていることを示すため具体例に対する計算を実行している。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

３次元球面への射影図を使った２次元結び目の表示方法を使うことにより２次元結び目のホモロジー群を構成することができた。

Strategy for Future Research Activity

３次元球面への射影図による２次元結び目の表示方法を使ったホモロジー群の構成において、３重点の周りで鎖群の微分写像が自然に４種類 定義されている。自然な定義が４種類存在する理由についてフレアー理論の観点からと組み合わせ的な観点から考察する。

Causes of Carryover

得られた結果の詳細を確認し成果を発表するため論文の執筆を優先している。その結果 研究発表旅費、物品費の使用を削減した。詳細の確認、推敲が終われば成果を発表するため研究発表旅費として使用する。