2019 Fiscal Year Research-status Report
へガードフレアー理論を用いた結び目と写像類群の研究
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15K04865
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
松田 浩 山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ホモロジー群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、次数付き微分代数を構成し、結び目の接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群の組合せ的な定義を与えていた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより３次元球面内の結び目に対する完全不変量を得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により示されていた。
上記の不変量は３次元球面内の１次元結び目に対する不変量であるが、同様の構成を４次元球面内の２次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。２次元結び目の表示方法の１つとして３次元球面への射影図を使う表示方法が知られている。この表示方法を使って、２次元結び目に対して次数付き微分代数を構成し、接触ホモロジー群の類似物を構成することができた。この表示方法を使った研究においては、鎖群の微分写像が３重点の周りで自然に４種類構成されている。そのため次数付き微分代数も４種類構成されている。２ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる２次元結び目に対しこれら４種類の次数付き微分代数を具体的に計算し、少なくとも３種類の次数付き微分代数は異なる情報を持っていることを示した。この計算のために次数の情報を落とした特性代数を構成し、有限体への写像の個数を計算した。0ツイストスパン三葉結び目には３重点を持たない３次元球面への射影図が存在するため４種類の次数付き微分代数は全て同型であることがわかる。これらのことから本研究で構成した次数付き微分代数は２ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目を区別できることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
３次元球面への射影図を使った２次元結び目の表示方法を使うことで構成した２次元結び目の次数付き微分代数は、２ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる具体的な２次元結び目を区別するために使えることがわかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
より多くの２次元結び目に対して本研究で構成した２次元結び目の次数付き微分代数の具体的な計算を実行する。また２次元結び目の次数付き微分代数がなぜ自然に４種類存在するのかについてフレアー理論の観点からと組合せ的な観点から考察する。
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| Causes of Carryover |
参加を予定していた学会がコロナウイルスの感染拡大防止を目的に中止となったため次年度使用額が生じた。オンラインで開催されることが増えた研究集会に参加するための設備を整備するために使用することを計画している。
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Research Products
(2 results)
