特異点論から見た曲面論と派生する微分方程式の研究

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04867
• Research Institution: Saitama University
• Principal Investigator: 福井 敏純 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (90218892)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 特異点 / 曲面

Outline of Annual Research Achievements

当初目標である3次元ユークリッド空間内の曲面の円柱との接触を調べた。解析はほぼ終了していて現れる接触の型、接触円柱の母線方向(cylindrical direction, Generatrix direction) の満たす3次の常微分方程式の解曲線の特異点の分類など、特異点論で通常言うところの「一般的には」という文脈の下で、種々の結果を得ている。これらの結果に、曲面の正射影の特異点を調べる立場から之に興味を持つ研究者がいて、その関連を議論した。次なる研究課題である、3次元ユークリッド空間内の尖辺（cuspidal edge) および　燕尾(swallow tail) の解析も行った。有限次の微分幾何的不変量をすべて記述することがその目標で、必要な計算の基幹部分は終了したと考えている。計算量はかなり多く、ちょっと大変だったというのが印象であるが、とにかく機関部分の計算は終わった。副産物として、尖辺（cuspidal edge)の近傍での漸近線の振る舞いや曲率線の振る舞い、燕尾(swallow tail) の近傍での漸近線の振る舞いや曲率線の振る舞い等解析できるようになった。計算した結果、尖辺(cuspidal edge )と放物軌跡 (parabolic locus) の交点では第2基本形式が非常に退化し、まだ漸近線の方程式の解曲線の特異点型の決定までは至っていない。その場合を除いては「一般的には」という文脈では満足すべき結果と得たと思われる。手法としては研究計画に述べた標準形に還元して計算する、標準形法が大きな修正を加えずにうまく働いたと評価している。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究実績の概要に述べたように、当初目論んだ3次元ユークリッド空間内の曲面の円柱との接触の研究は満足すべき形で終了した。また次なる研究課題である3次元ユークリッド空間内の尖辺（cuspidal edge) および　燕尾(swallow tail) の微分幾何的研究も順調に進展している。

Strategy for Future Research Activity

計算は大変だった印象があるので、行った計算の確認は最も重要である。尖点(cuspidal edge) と放物軌跡(parabolic locus) の交点での、漸近線の振る舞いの解析も行いたいが、非常に退化しているので直接計算で決着を着けるのは困難が予想される。何か新しいアイデアがほしい。ミンコフスキー空間への一般化や、他の研究手法との関連も追求したい。