| Outline of Annual Research Achievements |
これまでにGuo Chuan Thiang氏との共同研究で, d次元結晶群の点群が作用するd次元トーラスのねじれ同変K理論に対する位相的T双対を確立した. この位相的T双対において, 一方のd次元トーラスへの点群作用は, 結晶群のd次元Euclid空間への標準的な作用から誘導されるものだが, 他方は結晶群のPontryagin双対として現れるd次元トーラスへの双対的な群作用であり, 同変K理論のねじれも一般には異なる. もともとこの位相的T双対は, 結晶群について解決されているBaum-Connes予想を応用することで証明されていた. そのため, 二つのd次元トーラスのねじれ同変K理論を結びつける同型写像が具体的に記述することができていなかった. 今年度の研究実績は, この同型がFourier-向井型の写像として記述できるということである. これは, Guo Chuan Thaing氏と窪田陽介氏との共同研究における成果であり, 証明はKasparovのKK理論を用いる. また, トポロジカル絶縁体の文脈で, 原始的絶縁体と呼ばれるものがある. これは数学の言葉で言えば, d次元結晶群のWyckoff位置と呼ばれる情報から構成される, d次元結晶群の格子のPontryagin双対のねじれ同変K理論の元である. 上で述べた成果のもとで, 原始的絶縁体の構成が, 位相的T双対の枠組みの中で理解できることも明らかにできた.
また, 従来知られていた位相的T双対においては, ねじれK理論のねじれは3次の整数係数コホモロジーのみを考えるものが殆どである. ねじれとして, 1次のZ/2係数コホモロジーを含む場合, 少なくとも円周束に対しては, 従来とほぼ同様の位相的T双対が成立することを示した.
さらに, Giuseppe De Nittis 氏と Massimo Moscolari 氏との共同研究において , 非可換磁場ポテンシャルを持つLandauハミルトニアンのトポロジカル相の分類へ`四元数'ベクトル束の特性類であるFKMM 不変量を応用した.
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