2015 Fiscal Year Research-status Report
非コンパクト多様体のエンドの幾何構造と微分同相群の位相幾何学的研究
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15K04874
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| Research Institution | Kyoto Institute of Technology |
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Principal Investigator |
矢ヶ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 教授 (40191077)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 同相群 / 微分同相群 / 一様同相 / 一様位相 / 非コンパクト多様体 / エンド / 双曲幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非コンパクト距離多様体のエンドの距離構造と一様同相写像の成す群の一様位相の下での位相的性質の関係を中心に研究を進めた．エンドの距離構造の典型的な例として，コンパクト リプシッツ多様体上の kappa-錐 がある．kappa = 0 (ユークリッドエンド) の場合は，すでに 一様同相群 (さらに一般に，余次元 0 の一様埋め込みの空間) の 局所変形性 及び 大域的変形性 に関する結果を得ている．一方，kappa < 0 (双曲エンド) の場合は，局所的変形性 に関する結果のみで，大域的変形性 の解明には至っていない．これらの結果に関しては，本年度，国際会議等で報告した．
関連するテーマとして，微分トポロジーの分野で，リーマン計量の成す無限次元空間のホモトピー的性質の研究が主にコンパクト多様体の場合に発展してきている．さらに最近，非コンパクト多様体の場合も含めて，この空間の位相的性質の研究が進展している．この空間は，微分同相群と密接に関連しており，それ自体興味のある対象であると同時に，この空間に関する研究が 一様 (微分) 同相群の位相的性質の研究に結びつくことが期待される．そのため，本研究でも，このリーマン計量の成す空間に関する研究を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
非コンパクト距離多様体の一様同相群の位相的性質の研究に関して，ユークリッドエンドの場合の 局所・大域的変形性 及び 双曲エンド の場合の 局所的変形性 に関しては既に結果が得られており，本年度も 国際会議 等で研究発表を行った．残された 双曲エンド の場合の大域的変形性に関する研究の進行は予想より遅れており．この問題に関連するリーマン計量の成す無限次元空間の位相的性質の研究を行っている状況である．
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| Strategy for Future Research Activity |
リーマン計量の成す無限次元空間の位相的研究に関するこれまでの他の研究者による進展を踏まえて，非コンパクト多様体の場合のこの空間に関連する研究を行う．この研究は，それ自体興味があると同時に，双曲エンドの場合の一様 (微分) 同相群の大域的変形性に関する研究に繋がるものである．
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