2016 Fiscal Year Research-status Report
擬アノソフ写像のダイナミクスと三次元ファイバー多様体のトポロジー
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15K04875
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
金 英子 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (80378554)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 3次元双曲多様体 / 写像類群 / 擬アノソフ / 位相的エントロピー / 曲線複体 / 漸近的移動距離 / ファイバーとモノドロミー / 群の不変順序 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は擬アノソフ写像類の力学系的な性質と写像トーラスのトポロジーや幾何の性質に着眼点をおき, 両者の新しい現象や関係を明らかにすることである. 曲面の写像類群の元, すなわち写像類は３つのタイプの分類される. その中の一つである擬アノソフは, 写像類群の元として一般的と考えてよい. 一方, 写像類群は曲面の曲線複体に作用する. この作用を考察することによって写像類群の性質や, 写像類群の元, 特に擬アノソフ写像類の特徴的な性質を導きだすことができる. 写像類に対して曲線複体への漸近的移動距離(以下, 移動距離という)という0以上の有理数が定まる. これは写像類の複雑さ反映する不変量である. 写像類が擬アノソフであることは移動距離が正であることとして特徴付けられる. 今, 曲面Sを固定する. S上で定義された擬アノソフ写像類全体の移動距離の集合には最小値 L(S)が存在する. 最小値 L(S)を計算せよ. どのような写像類がL(S)を実現するのか? という基本的な問題が提起できる. いくつかの曲面の族に対して移動距離の最小値の漸近挙動を調べる研究が, 海外のグループによって行われている. 報告者は, Hyunshik Shin (韓国KAIST)との共同研究において次を示した. １次元ベッチ数が2以上の任意の3次元双曲的ファイバー多様体Mに対して, いくらでも小さい移動距離をもつ擬アノソフ写像類の無限列が構成できる. この列はMのファイバーのモノドロミーとして実現できる. 双曲的ファイバー多様体と擬アノソフモノドロミーのエントロピーの研究は海外で盛んに行われており, 様々な結果がある. 本研究は, このような3次元多様体と, 擬アノソフのもう一つの不変量である曲線複体への移動距離を関連付けたということが特徴的である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究実績で得た内容は本研究目的に沿ったものであり, また新しい問題も提起できている.
平成２９年度の研究成果に繋がるものであると報告者は考えている.
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| Strategy for Future Research Activity |
1. Hyunshik Shin (韓国KAIST)氏との共同研究. １次元ベッチ数が2以上の任意の3次元双曲的ファイバー多様体が許容する, ファイバーとその擬アノソフモノドロミーについて, 曲線複体への移動距離をファイバー面と関連付けて考察する. 上記の研究実績概要で述べた成果は, このような多様体において特別なファイバークラスの無限列であった. 今年度は一般のファイバークラスについて移動距離がどのような性質を持つのか明らかにする.
2. 廣瀬 進 (東京理科大学) 氏との共同研究. 写像類群の部分群の擬アノソフの最小エントロピーの漸近的挙動の研究を行う. 具体的にはレンズ空間の種数gのHeegaard曲面の写像類群を考えると, これは種数g の閉曲面の写像類群の部分群である. このような部分群において擬アノソフ写像類の最小エントロピーの漸近的挙動について考察する. 考えている部分群に擬アノソフ元が存在するかどうかは明らかではなく, まずは擬アノソフ元を発見することから始めなければならない. なお, 3次元球面の種数gのHeegaard曲面の写像類群については, 報告者は考察をすでに行っており, 最小エントロピーは 1/g のオーダーであることを示している.
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| Causes of Carryover |
以前から注文していた幾何学的群論の洋書 (1万5千円程度のもの)が平成28年度に入荷しなかった. 新刊書のためと思われるが, 平成29年の夏までには入荷するとのことである.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記の専門書を購入する.
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