2016 Fiscal Year Research-status Report
微分可能写像の特異点理論と結び目理論のインタフェイス
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15K04880
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| Research Institution | Seikei University |
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Principal Investigator |
高瀬 将道 成蹊大学, 理工学部, 教授 (30447718)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分可能写像の特異点理論を用いて多様体のトポロジーを研究する企てを継続した。高次元トポロジーと低次元トポロジー、微分トポロジーと代数的トポロジー、実と複素など幾分異なる領域の壁に新しい扉を作るべく努力した。
向きのつけられた閉曲面の４次元ユークリッド空間への埋め込み、すなわち、曲面結び目に関する、東京学芸大学の田中心氏との共著論文が、Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Societyに出版された。この研究は、２次元球面の結び目に対して、ブランチ点に関わるローズマン変形なしには移り合えない図式の組の存在を示すものであり、正の種数の曲面に対しての類例はあったが、球面の場合には初めての例を与えるものであった。
また、総実埋め込みと結び目理論との関係に着目した研究を青山学院大学の粕谷直彦氏との共同で行い、少し面白い結果を得た。すなわち、３次元球面内の任意の古典的結び目および絡み目は３次元球面から３次元複素空間への滑らかな埋め込みの複素接触点（総実性が壊れている点）の集合として実現できることを示した。実際には、有向３次元多様体Ｍ内の１次元部分多様体Ｌに関して、ＬがＭから３次元複素空間への滑らかな埋め込みの複素接触点の集合として実現可能であることと、Ｌが表すＭの整係数の１次元ホモロジー類が消えることが同値であることを示した。証明にはジェネリック写像の特異点集合に関する九州大学ＩＭＩの佐伯修氏の結果を用いており、滑らかな実写像の理論と複素接触（または総実埋め込み）の理論という全く異なる領域を結ぶナイスな結果である。この結果をまとめた共著論文は米国数学会の雑誌への採録が決定している。さらに他の次元への一般化を目指す試みに着手し、いくつかの着想を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
達成度が測りにくい研究・目的であるが、共同研究の進展が順調であることと論文の出版があったことを考慮して「おおむね順調に進展している」と自己評価を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでのところおおむね順調に進展していると自己評価しているので、今後も順調に進展させるべく、これまで通り身体および精神の健康に留意しながら、独自の研究を推進する。当研究課題における研究テーマは幅広い分野の知識を必要とするものが多いため、多くの研究者と連携する必要があるので、これまで以上に多くの研究者と連携して研究を推進したい。
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| Causes of Carryover |
諸般の事情により複数の出張予定をキャンセルしたために、旅費の支出が予定を大きく下回ってしまったことによる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
よりアクティブに研究活動を行い、学会出張や研究者招聘ほか当該研究の推進のために有意義な形で使用する計画である。具体的にはこれまで以上に多くの研究者と連携し、共同研究を活発化する計画である。
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