2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04882
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
江田 勝哉 早稲田大学, 理工学術院, 名誉教授 (90015826)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | fundamental group / wild space / singular homology / one dimesional / zero dimensional |
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| Outline of Annual Research Achievements |
locally finite 連結グラフについて R. Diestel は edge をつけた空間とみなし end をつけて compact 化した空間の algebraic topology を展開している。これについて、昨年度すでに得ていた結果について補充する結果をえて、論文の書き直しをした。主な結果は、１次元 Peano continua で野性的な点のなす部分空間が0次元で空でないのときは、その 0 次元部分空間の位相が homotopy 型を決定する。その結果 locally finite 連結グラフに end point を付けた空間の基本群の同型性は基本群が非可算ならば、end point のうち野性的な点のなす部分空間の同相性と同値になる。
また、いかなる 0次元 compact 空間も、ある locally finite 連結グラフの end point 全体と同相となる。end point が wild でない場合は基本群は有限生成自由群であるので end point のついたlocally finite 連結グラフの homotopy 型はこのような形で決定された。また、singular homology 群は一般の1次元 Peano continua の場合、研究代表者の2016年出版の論文により決定されており、それに従う。singular homology 群は野性的な点がある場合、幾何的な意味のわからない部分が発生する。そこで、R. Diestel-Spruesel はsingular homology のfactor を定義しているが、end point のついたlocally finite 連結グラフについては研究代表者が 1992 年に酒井克郎氏との共著論文のfactor に一致しており、このように新たに定義する必要がないことがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１次元 Peano continua のwild part が空でなく 0-dimensional となる場合、その homotopy type が、wild part の位相同型性と同値であるという結果は、wild part が１点である場合の拡張であるが、この形で想像できる最終的な形である。１時元 Peano continua に関する、この方向での研究は一応。原理的に可能な範囲では最善のところまで到達した。
またこの研究は locally finite connected グラフの end を付け加えた空間の基本群の研究から派生したものであるため研究の途中で、新しい今後の研究方向として Coxeter system 関係するlocally finite グラフに関する研究も始まり、Cayley graph を使った分析により reflection group が Coxeter 群となることの証明が極めて単純化し、ものの本質が見えるようになった。また語の reduction に対する Cayley graph の幾何的性質を使った証明もすすんでいる。
一方、当初の計画のなかで、本質的な部分は無限語、あるいは連続語にかんする発展であるが、この部分は十分ではない。原理的な部分であるので簡単に発展する部分ではないが、原理的な部分の解明は重要である。特に、無限語からなる群を可換化した場合の n-divisibility はとても大事な性質であるのでこれは数年の間に何とか解決したいことである。
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| Strategy for Future Research Activity |
すでに進めている方向で、今年度の成果に関して述べたことからグラフの構造が end を考えることにより野性的空間との関係がわかった。そのため、保坂哲也氏（静岡大学）と locally finite グラフの研究をはじめ、すでに homogeneously colored グラフ（頂点につながる無向辺の数が一定でそれに異なる色付けがなされている）についての研究を、進めている。involution からなる生成系を持つ群の Cayley グラフは pre-Cxeter system と呼ばれるが、これは homogeneously colored グラフとなる。この方向をさらに進める。とくに、Cayley グラフにおける性質の考察から引き出された事柄には、必ずしも、Cayley グラフでなくても成立する性質も現れており、今後の homogeneously colored グラフの研究を推進されて原動力となる。
5月5日からの本研究補助費による米国ユタへの研究出張中、Arches topology conference がユタ moab で開かれ、その集会の副題は研究代表者の名前が入っており、野性的空間の基本群に関する研究が主題である。この集会において今後の課題がさらにはっきりすると思われる。研究代表者の発表も予定されており、本研究者の野性空間の研究の歴史を顧みる講演を行う予定である。それを踏まえた方向で進める。すでに述べた、無限語、連続語に関する、基本的な問題をこの集会で明確な問いとして述べることにより、より多くの研究者の研究方向を基本的な問題に焦点を当てることにより他研究者との研究交流により、本研究代表者の研究動機を高くもてるようにする。
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| Causes of Carryover |
2018年度のユタのおけるwild Topology の集会が予定されていたため、またこの集会後、BYUにおいて多くの研究者が滞在し共同研究を行う計画があるため、2018年度に資金を集約したため起きており、持ち越しの部分は5月中に使われる。
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