2019 Fiscal Year Research-status Report
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15K04882
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
江田 勝哉 早稲田大学, 理工学術院, 名誉教授 (90015826)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 基本群 / one dimensional / wild space / 非可算非可換群 / covering group |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1 次元ペアノ空間のホモトピー同値性は基本群の同型性と同値である。w(X)をsemi-ocally simply connected な X の点の集合とする。以下のことが知られている。（１）w(X) が1点のとき X は Hawaiian earring とホモトピー同値である；（２）X と Y の基本群が同型ならば X と Y はホモトピー同値であり、w(X) と w(Y) が同相となる；（３）w(X)とw(Y)が同相でも、X と Y の基本群が同型とは限らない。この（１）の場合を拡張し、w(X) と w(Y) が空でなく同相ならば、X と Y の基本群が同型となる（現在投稿中）。
separable な空間 X とその可算稠密部分集合 S が与えられたとき、(X,S) によって S の各々の点に circle をサイズが 0 に収束するようにつけた空間とする。また G.Conner との共著論文で導入した、群 G からできる空間を Y(G) とする。X が単連結であるとき、
（１）Y(π_1(X,S)) は X と同相となる；（２）また π_1(X,S) は Hawaiian earring の基本群の部分群と同型となる（現在投稿中）ことを証明した。
研究代表者は1980年代前半、数年間、アーベル群の研究を始めたが、その動機は Hawaiian earring のホモロジー群と関係したものであった。その後 Hawaiian earring の基本群の研究を基礎に野性的空間の基本群、特異ホモロジー群などの研究をした。このつながりを概観した論文 From uncountable abelian groups to uncountable non-abelian groups を書いた（Rendiconti Padova (Fuch's special issue)に掲載予定）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初において、あげた2つの方向は、Hawaiian earring の基本群を基礎とする野性的空間の基本群の研究であり、もうひとつは、被覆空間の理論を野性的空間に拡張する方向で、とくに底空間が位相群であるときの overlay を使った研究であった。前者はいくつかの方向にすこしづつ進展を見せており、昨年度、投稿した論文のうち、一次元ペアノ空間 X で w(X) が０次元の場合の結果と、単連結空間に cicle をつけ野性的空間としたうえで、その空間の基本群を研究するのはその方向のものである。当初 Cut point （one point union の接着点と考えられる）および Local cut point についての研究を進める予定であったが、それは preprint とはなっているものの、投稿できる段階にはなっていない。
一方、位相群上の被覆空間の研究は、非常に進み 2017年 Fund.Math.238でV. Matijevic との共著論文にまとめられている。ここでは、弧状連結群上の被覆連結空間に被覆写像が準同型写像となる群構造が定義されるというポントリヤギンの古典的な結果を、弧状連結という性質をコンパクト連結と新しい性質を導入し拡張することおよび overlay の構造を加味することにより、連結局所コンパクト群の場合を解決できた。その結果、局所コンパクト性も外してしまった全く一般の連結群について overlay が連結被覆空間に被覆写像が準同型写像となる群構造を定義できるか？という大きな問題を提起できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずMaking spaces wild の論文の後半部、つまり、2019年度の実績概要で述べたcircle を空間につけるやり方をnon-simply connected な空間に対して行うことがある。この場合は Hawaiian earring の基本群の部分群とはならない群の表現となる。とくに、無限語と有限語に関する新しいword problem が現れる。つぎに、当初の計画に述べた cut point および local cut point についての研究をまとめる。この研究はもう15年ほど前にある程度進めてあったものだが、その後、周辺が大きく進展しているため、大きく書き直す必要があり、中々進まなかったものであるが、原理的な障害があるわけではない。one point union の基本群は25年以上前、研究代表者により詳しく研究されており、この研究を研究実績で述べてある群 G から定義される空間 Y(G) の構成につなげることにより、基本群から定義される点が２つの部分群おのおのから定義される点の重ね合わせとして定義する。群 G が自由積 H*K と分解される場合、Y(G) は Y(H) と Y(K) の disjoint union になることに注意する。つまり cut point は野性的空間の基本群のような群に関して定義される概念である。これに似た感覚で local cut point は Higman-Neumann-Neumann 拡大が弧状連結空間の２点の同一視に対応するので、この接着点を local cut pint とみる研究をすすめる。
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| Causes of Carryover |
当初、外国出張が取りやめになったため、大幅に旅費使用額が減った。国内での共同研究を増すことにしたが、２月から3月の集会予定がなくなり、とくに3月中の集会の参加を予定していたが旅費、集会参加費などが残ったため残額が生じた。
次年度の使用計画は、今後の研究計画にそっておこなう。
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