2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04883
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
河野 明 同志社大学, 理工学部, 教授 (00093237)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ゲージ群 / ホモトピー論 / リー群 / samelson積 / 非安定k理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Gを位相群とし、Pを底空間X上の主G束とする。Pのゲージ群とはPの自己同型、つまり、G同変なPの自己写像でXの恒等写像の持ち上げになっているもののなす位相群のことをいう。その定義から、ゲージ群は変換群論において重要な研究対象である。さらに、構造群がリー群で底空間が多様体の時は、ゲージ群の分類空間が接続のモジュライ空間のホモトピー型をもつことなどから、ホモトピー論においても重要な研究対象である。ゲージ群のホモトピー論的研究における重要な問題として次のものがあげられる。GとXを固定し、PをX上の主G束すべてを走らせると、それに対応するゲージ群の族が得られる。この族の中のホモトピー型を分類せよ。この問題は私が1991年に提唱して以来、様々な視点から盛んに研究されており、この問題の解決に沿ってゲージ群のホモトピー論的研究は発展して来た。最近では、空間のA∞構造や位相モノイドのC∞構造などに関して、ゲージ群の高次ホモトピー構造に関しても研究が進んでおり、今後さらなる発展が期待される。本研究は、上記のホモトピー型の分類について行われた。具体的には、シンプレクティック群Sp(n)を構造群とする４次元球面上の主束のゲージ群の、W.A. Sutherlandによるホモトピー不変量を改良した。さらに、その改良された不変量を、Sp(n)の中のあるSamelson積の位数と関係づけることにより、４次元球面上の主Sp(n)束のゲージ群のp局所ホモトピー型の分類を行なった。そこでキーとなったのは、非安定KSp理論によるSp(n)の中のSamelson積の計算であった。この結果は”On the homotopy type of Sp(n) gauge groups”として論文にまとめられ、すでにarXivに投稿されており（arXiv:1803.06477v1）、現在投稿雑誌を選定中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ゲージ群のホモトピー型の具体的な分類は、これまで構造群がランクの低い（ほとんどがランク２以下）のリー群の場合にのみ行われてきた。しかし、最近、論文 [1] においてS.D. Theriault氏が特殊ユニタリー群SU(n)を構造群とする４次元球面上の主束に対するゲージ群のp局所ホモトピー型の分類を行なった。そこでキーとなったのは、SU(n)の中のある種のSamelson積の位数の決定であった。Theriault氏は、そのために、戸田宏氏によるBott周期性の証明に用いられた、複素射影空間に関する写像を使った。しかし、この手法はp局所でしか通用せず、今後の発展には繋がらないものである。私と連携研究者・岸本大祐氏は、同じSamelson積の位数は、非安定K理論呼ばれる手法を用いても決定できることを発見し、さらに、その手法はTheriault氏のものでは不可能だったシンプレクティック群の場合や、p局所でない場合にも通用することに気づいた。そこで、この手法を用いてSp(n)-ゲージ群（４次元球面上の主Sp(n)束のゲージ群）のホモトピー型に関するW.A. Sutherlandの結果を改良し、さらに、その改良された不変量と、あるSamelson積とを関係づけることにより、Sp(n)-ゲージ群のp局所ホモトピー型を分類した。この結果は重要なものであり、かつ、その手法は古典群以外にも適用可能である。したがって、進歩状況はおおむね順調であると言える。
[1] S.D. Thriault, “Odd primary homotopy types of SU(n)-gauge groups”, Algebr. Geom. Topol. 17 (2017), o. 2, 1131-1150.
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）非安定K理論はゲージ群のホモトピー型の分類において重要であるだけでなく、より一般に、Samelson積の計算が必要な場面で重要な手法である。非安定K理論はもともと古典群に対してのみ考えられていたが、最近、論文 [1] において、例外型リー群にも、その表現を考えることにより応用可能であることが示された。そこで、今後の研究の流れの一つとして、例外型リー群に関するゲージ群のホモトピー型の分類を、非安定K理論を応用することで行うというものがあげられる。
（２）論文 [2] において４次元球面上の主Sp(n)束のゲージ群のホモトピー型が分類されている。このように、これまでは４次元球面上の主束のゲージ群が考えられることが多かったが、今後の研究の方針として、こう次元の球面、もしくは、４次元多様体に付随するゲージ群のホモトピー型の分類というものがあげられる。特に、４次元多様体に関しては、単連結やスピン多様体の場合はゲージ群のホモトピー分解が知られており、４次元球面の場合に帰着されるので、非単連結やスピンでない場合を考えることになる。
[1] S. Hasui, D. Kishimoto, T. Miyauchim, and A. Ohsita, “Samelson products in quasi-p-regular exceptional Lie groups”, Homology Homotopy Appl. 20 (2018), 185-208.
[2] D. Kishimoto and A. Kono, “On the homotopy type of Sp(n) gauge groups”, arXiv:1803.06477.
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| Causes of Carryover |
（理由）予定していた謝金の支出をせず、繰り越したため。
（使用計画）平成30年度の研究計画にのっとり旅費に使用するほか、研究協力者招聘の旅費、もしくは謝金に支出する。
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