Study of the topology of gauge groups

2019 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15K04883
• Research Institution: Doshisha University
• Principal Investigator: 河野 明 同志社大学, 理工学部, 教授 (00093237)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: ゲージ群 / リー群 / 写像空間 / Samelson積 / K理論

Outline of Annual Research Achievements

Gを位相群とし、Pを空間X上の主G束とする。Pのゲージ群とはPの自己同型写像全体のなす位相群のことをいう。ゲージ群のホモトピー論に関する実績は大きく分けて次のふたつに分けられる。
（１）写像空間
Pのゲージ群の分類空間は写像空間map(X,BG)の連結成分でPの分類写像を含むものと自然にホモトピー同値になる。したがって、ゲージ群は写像空間の同変トポロジー的モデルを与え、写像空間とゲージ群のホモトピー論との間に相互作用が生まれ、これを利用した研究を行ってきた。この相互作用を通してSamelson積とゲージ群の関係が明らかになり、Samelson積を用いたゲージ群の研究が盛んに行われている。私は濱中裕章との共同研究でK理論を用いたSamelson積の決定の基礎理論を築き、様々なリー群におけるSamelson積を決定した。この手法はその後、大下顕弘、蓮井翔、岸本大祐、T.-S. So, S. Theriaultらによってさらに発展され、多くの結果が得られた。
（２）ファイバーワイズホモトピー論
Pのゲージ群はPとGの随伴作用に付随するファイバー束の切断の空間と同一視できる。このファイバー束はファイバーワイズ位相群であり、それにより切断の空間は自然に位相群となる。この同一視を通してファイバーワイズホモトピー論をゲージ群へと応用でき、ゲージ群の大域的性質がわかる。私は岸本大祐との共同研究でファイバーワイズホモトピー論A∞空間の基礎理論を構築し、高次ホモトピー可換性とゲージ群の関係を明らかにし、さらに、写像空間の評価写像に関する未解決問題を解決した。その後、蔦谷充伸がこの理論を拡充し、現在でも多く応用されている。例えば、最近では位相的複雑さなどへと応用されている。