2016 Fiscal Year Research-status Report
ホモトピー集合とそのホモトピー不変部分集合族の研究
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15K04884
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
小田 信行 福岡大学, 理学部, 教授 (80112283)
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2015-10-21 – 2019-03-31
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| Keywords | 自己ホモトピー同値写像 / コゴトリーブ集合 / K群 / コファイブレーション |
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| Outline of Annual Research Achievements |
基点付位相空間の間のホモトピー集合とそのホモトピー不変な部分集合族の研究を昨年までの研究を引きつぐことにより遂行した．
空間のm回約積の自己ホモトピー同値写像類の群と空間の自己ホモトピー同値写像類の群と対称群の半直積との関係を与える定理，及びコホモロジー群の性質を用いて一般的に成り立つ定理を含む論文を，木原・丸山・小田の共著論文としてトポロジーとその応用に関する数学雑誌に発表した．その中で，球面や複素射影空間やアイレンベルグ・マクレーン空間に関する一般的な結果も得た．
コゴトリーブ集合は群状空間から導かれる演算により群になるかどうかは現在まで証明されていないが，チョイ・キム・小田は，コゴトリーブ集合の代数的性質を研究する上で重要である短完全列の存在を証明した．また，様々な群作用をコゴトリーブ集合に定義することに成功した．これらの結果は，コサイクリック元を保存する写像の研究に応用されることも示された．チョイ・キム・小田の共著論文としてこれらの結果をまとめ韓国数学会発行の数学雑誌に投稿し受理された．
木原・小田の有理カップ積とK群に関する共著論文を数学雑誌エジンバラ数学会の紀要に投稿し受理された．
空間のホモトピー群の特別な性質について，コファイブレーション, 胞体構造との関係に関するいくつかの定理が得られ，山口・小田の共著論文として現在投稿中である．
ブラウン・ブース・ティロットソン積の中心について調べ，一般化された反射空間との関係を証明した．この結果を平嶋・小田の共著論文としてまとめ，現在投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
基点付連続写像全体に基点付ホモトープという同値関係を入れて得られた同値類の全体の集合に関し，以下のような研究結果がえられたので，おおむね順調に進展している．
自己ホモトピー同値写像類の群と対称群の半直積との関係について，木原・丸山・小田の共著論文として数学雑誌 Topology and its Applications に発表した．
チョイ・キム・小田の共著論文としてコゴトリーブ群の短完全列の存在を証明した論文を数学雑誌 Journal of the Korean Mathematical Society に投稿し受理された．
木原・小田の共著論文を数学雑誌 Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society に投稿し受理された．
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| Strategy for Future Research Activity |
コファイブレーションを用いて自己ホモトピー同値写像の集合の性質を研究し，ホモトピー群におけるある次元までの同型が自己ホモトピー同値写像であることを決定することを研究したが，この双対であるファイブレーションを用いて, モトピー群におけるある次元までの同型が自己ホモトピー同値写像であることを決定することを研究する．胞体構造に代わりにポストニコフ分解との関係に着目して定理を整備する．これらの定理と特別な空間の部分集合族の関係を解明する.
空間のm回直積の自己ホモトピー同値写像類の群と空間の自己ホモトピー同値写像類の群と対称群の半直積との関係を与える定理を研究する．この研究は，約積に関する結果と同様の結果が直積においても成立することを証明するものである．コホモロジー群の性質を用いて一般的に成り立つ定理も定式化を試みる．
高次の戸田積について，n型の戸田積を定式化し，2-圏において定式化が困難と思われる結果を，球面のホモトピー群において具体例を決定する．このことによりn型の戸田積の必要性を解明する手がかりになると思われる．
特別な位相空間のクラスに対するブラウン・ブース・ティロットソン積の中心は大変良い性質を持っているが，公理論的集合論の議論を視野に置き，定式化を研究する．
一般コホモロジー群の部分群に対してコサイクリック元を保存する写像のホモトピー集合の具体例の構成を試みる．
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| Causes of Carryover |
平成29年1月末に次年度使用額が100,000円ほどになると予想されたが，その時点での研究の進捗状況を考慮して，残額を次年度の旅費に使用することが適切であると判断されたため残額を次年度使用とした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
3月の出張旅費が計算された結果，最終的に95,591円の残額が確定した．次年度使用の理由を考慮して平成29年度において旅費に組み込み使用計画を作成する.
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