2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04892
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
国場 敦夫 東京大学, 総合文化研究科, 教授 (70211886)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | マルコフ過程 / 行列積 / 非対称排他過程 / 非対称ゼロレンジ過程 / 四面体方程式 / 組合せR / 結晶基底 / 量子群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は四面体方程式に関するものであるが，該当年度初頭の平成27年４月に非平衡物理の確率過程への応用に新しい着想を得て，緊急性の高い課題が浮上したので専らそれに従事することになった．以下その概要を述べる．
１次元格子上の多種粒子系の確率的ダイナミクスからなるマルコフ過程として完全非対称排他模型はよく研究されている．特に定常状態の配位の確率，即ち定常確率は，FerrariとMartinによる組合せ論的構成法が知られていたが，そのアルゴリズムの起源は謎であった．上記の新しい着想というのは，長さLの周期系の場合，このFerrari-Martin アルゴリズムがランクLのA型量子アフィンリー環の反対称テンソル表現の組合せRを角転送行列型に合成したものにほかならないという発見である．これによりマルコフ過程の解析にに量子群による新たな応用の糸口が開かれた．組合せRの因子化表示をFerrari-Martin アルゴリズムに代入すると，定常確率の行列積表示が直ちに従う．その結果はそれまでに知られていたものと異なり，各サイトを占有する粒子に付随する演算子は，境界条件を指定した角領域上の５頂点模型の分配関数の形式をとる．定常性を直接証明することもできる．これは所謂相殺機構ないしハット関係式と呼ばれるものに依る．今の場合，先の演算子をパラメーターｑにより一般化し，３次元模型の層転送行列に埋め込むとその双線型関係式が導かれ，ハット関係式が自動的に従う．このような手法はこれまでの単純排他模型の研究には全く見られなかった新しいアプローチである．
同様の解析は量子群の結晶基底として対称テンソル表現の場合にも自然に拡張される．関与するマルコフ過程は多種粒子による新しい完全非対称ゼロレンジ過程であることを示し，定常状態の行列積による構成やその演算子のハット関係式の証明を行った．さらに遷移レートを非一様に拡張した模型についても解析的な結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究は四面体方程式に関するものであるが，該当年度初頭の平成27年４月に非平衡物理の確率過程への応用に本質的に新しい着想を得て，緊急性の高い課題が沢山浮上したことによる．
また可積分系の手法の非平衡系への応用は，近年非常に活発に行われており，多くの反響があることにもよる．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度の末に，Povolotsky による q-Hahn 過程と量子R行列の関係を明確に認識できた．現在その自然な拡張を得ており，背景となるR行列の特殊化，確率解釈可能条件，マルコフ行列のベーテ固有値など多岐にわたり着実に結果が蓄積してきている．
また前年度末に，量子R行列と四面体方程式に詳しいVladimir Mangazeev (オーストラリア国立大)を訪問し，新たな共同研究が発生しているので，これまで一緒に研究を行ってきた研究室の大学院生，連携研究者と併せて連絡を密にとり，推進していく予定である．四面体方程式を起源にした因子化を持つ量子R行列は前年に沢山構成してあるので，これまでの成果をそれらに拡張し，大局的な視座を獲得することを目標とする．
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| Causes of Carryover |
次年度の消耗品購入のため繰り越した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
USBメモリの購入にあてる．
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