パンルヴェ方程式を中心とした可積分系の研究

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04894
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 坂井 秀隆 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (50323465)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: パンルヴェ方程式 / 差分方程式 / 特殊函数 / 超幾何函数

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題においては，近年発見されたパンルヴェ方程式の超越解の具体的表示のq類似の構成と，線型q差分方程式の変換理論，分類理論のふたつを具体的な目標としてあげた．
最初の超越解の具体的表示についてだが，元の論文である Lisovyy, Bershetein らの結果の，微分方程式の場合の解の導出について理解できてきたところで，q類似については，なかなか進んでいない．大事な問題だと考えているので，このまま研究を続けていきたい．
ふたつ目の問題だが，これについては，すでに山口雅司氏との共同研究で，qの場合の中間畳み込みの定義や，既約な方程式が既約な方程式に移ること，剛性指数が保存することなどの諸性質の証明については完成していた．2015 年度の計算で，その研究で作られた変換が，1位の極までを持つ方程式の Euler 変換しか扱ってないのに対し，より高位の極を持つ方程式の Euler 変換が必要であることが分かった．それらの新しい変換を使うと既約リジッドな方程式の解の積分表示に関して期待される結果が得られることが分かる．これらの内容をまとめて論文にしようと考えている．
さらに続けて，Fuchs 型の線型常微分方程式について知られているような Kac-Moody ルート系や，Weyl 群対称性との関係，また，箙多様体としてモジュライ空間を構成する問題についても考察を行っていきたいと考えている．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

少しづつではあるが，計算も進んできているので，このまま続けて目標としている結果にたどり着けるのではと考えている．

Strategy for Future Research Activity

この研究課題においてあげてきた，具体的な目標である，パンルヴェ方程式の超越解の具体的表示のq類似の構成と，線型q差分方程式の変換理論，分類理論のふたつについて，結果を得られるよう研究を続けていこうと思う．
ほかにも，申請書に述べた通り，パンルヴェ方程式に関する専門書を出版する予定もある．やりたいことは多いので，ひとつひとつ結果を残していきたい．

Research Products

• [Presentation] Discrete Painleve Equations (2016)
  • Author(s): SAKAI Hidetaka
  • Organizer: Joint Mathematics Meetings AMS
  • Place of Presentation: Washington State Convention Center, Seattle, USA
  • Year and Date: 2016-01-06
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Discrete Painleve Equations (2015)
  • Author(s): SAKAI Hidetaka
  • Organizer: Differential and Difference Equations
  • Place of Presentation: Laboratoire Paule Painleve, Lille, France
  • Year and Date: 2015-10-21
  • Int'l Joint Research / Invited