2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04897
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
高木 啓行 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (20206725)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
羽鳥 理 新潟大学, 自然科学系, 教授 (70156363)
植木 誠一郎 東海大学, 理学部, 准教授 (70512408)
古清水 大直 (古清水大直) 米子工業高等専門学校, 教養教育課, 講師 (50713939)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 関数解析学 / 合成作用素 / 保存問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究課題は、「関数空間の間の写像が荷重合成作用素で表現できるための条件を知りたい」という動機に基づいている。発端は、「連続関数からなる線形空間」の間の「等距離写像」の研究であったが、平成２８年度は視野を広げた。目を向けたのは、「連続関数環（可換C*環）値リプシッツ環」の間の「準同型写像」である。というのは、最近、大井志穂氏（新潟大学）が、ある条件下で、当該準同型写像を合成作用素として特徴づけ、それがこの研究課題と結びついたからである。大井氏は、羽鳥理氏（研究分担者）の学生であったことから、羽鳥・大井・高木の３名の共同研究を行った。そして、連続関数環値リプシッツ環をを一般化した概念を設定し、その設定の下で、大井氏が特徴づけた準同型写像の形が出現する場合を突き止めた。さらに、大井氏が課していた条件を取り除き、連続関数環値リプシッツ環の間の準同型写像を、もっとも一般的な完全形（形は合成作用素）で記述した。また、その準同型写像がコンパクト作用素になるための必要十分条件も求めた。ここでの結果は、D.R Sherbert (1963)、H. Kamowitz (1981)、S. Ohno and J. Wada (1981)、H. Kamowitz and S. Sheinberg (1990)、F. Botelho and J. Jamison (2013)などの結果の一般化になっている。この結果は、羽鳥氏・大井氏・高木と泉真之介氏（信州大学）の共同研究としてまとめているところである。
一方、この研究課題は、バナッハ環の保存問題を意識していて、その方面では、高橋眞映氏（研究協力者、山形大学・名誉教授）・三浦毅氏（新潟大）と、半単純可換バナッハ環により構成されるラウ環のマルチプライアに関する結果を導くことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究課題の動機「関数空間の間の写像が荷重合成作用素で表現できるための条件を知りたい」について、平成２７年度には、ハーディ環の間の等距離写像に関する結果を、平成２８年度には、連続関数値リプシッツ環の間の準同型写像に関する結果を導くことができた。この２年で扱った２つの関数の環は異色なものであるが、研究課題の動機に答える類似の結果になったことは非常に興味深く、大きな発展と言える。また、ベクトル値リプシッツ環の研究が最近注目されていることから、さらなる発展が期待できる。そういう意味で、研究は順調に進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２８年度当初は、前年度に引き続き、ハーディ環の等距離写像を対象にして、この研究を行っていた。その際、「連続微分可能関数環」「リプシッツ環」やそれらの間の「環準同型写像」が関連していることに気づいていた。平成２８年度には、それに関連して、「連続関数環値リプシッツ環」の間の「準同型写像」を特徴づけることができた。このことは、連続関数値リプシッツ環において、興味の源泉である「等距離写像」やその他の「保存写像」を調べる問題へと発展するので、その方針の研究を進めたい。さらに、合成作用素の研究では、その作用素としての性質を調べるという問題があり、その立場からの研究も同時進行できると考えている。このようなことを今後の研究の推進方策とする。
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