2016 Fiscal Year Research-status Report
グラスマン多様体上の 超幾何関数，q-超幾何 関数と非線形特殊関数 の研究
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15K04903
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
木村 弘信 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40161575)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Schlesinger系 / モノドロミー保存変形 / 行列積分 / 超幾何函数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究計画は，当初グラスマン多様体上の超幾何函数（一般超幾何函数）の満たす微分方程式系の大域的研究、特にモノドロミー表現やストークス現象の研究を進めることであった。しかし、多変量解析の研究に重要な働きをし、可積分系との関連も明らかになってきた行列積分で定義される超幾何函数に興味を持ち、その方面の基礎的な知識の修得および研究を行った。特にガウスの超幾何函数の正定値n次対称行列を変数とする函数への拡張は正定値対称行列空間上の積分としてのオイラー積分表示の類似物を持つ。またクンマーの合流超幾何函数やベッセル函数とそれらの積分表示の類似物も研究されている。それらの函数を変数行列の固有値の函数とみなしたものは、偏微分方程式系を満たすことがMuirheadによって知られており、その具体的な表示も与えられている。本年度の研究では、これらの微分方程式系がholonomic系であることを検証し、genericな点での解空間の次元を計算した。また、その全微分方程式系としての表示を行列のサイズが小さい場合に具体的に与え、特異点集合の記述と特異点における特性指数を調べることにより解の多価性の構造を調べた。また、本研究の研究対象の一つであるTwistor理論の立場からのmonodromy保存変形によって得られる一般Schlesinger系に関し、その合流についてTwistor理論を用いた記述に関する結果を論文として発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
課題をより発展させるため、一般超幾何函数の研究を一時的に留保して、行列積分で定義される超幾何函数の研究を開始した。多変量解析の研究に重要な働きをし、可積分系との関連も明らかになってきた行列積分で定義される超幾何函数に興味を持ち、その方面の基礎的な知識の修得および研究を行ったからである。
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| Strategy for Future Research Activity |
多変量解析の研究に重要な働きをし、可積分系との関連も明らかになってきた行列積分で定義される超幾何函数は重要な研究対象であるので、その方面の研究を深めていきたい。特にガウスの超幾何函数の正定値n次対称行列を変数とする函数への拡張は正定値対称行列空間上の積分としてのオイラー積分表示の類似物は古くから知られており、これらは対称錐上の立場から一般化されている。積分表示の立場からみれば、アッペルの超幾何の類似についてはまだ研究があまり進んでいない。さらにKdv方程式との思いがけない繋がりが明らかにされたKontsevich積分はエアリー積分の類似である。これらを特徴づける微分方程式系の研究はこれからの課題であり、まずこのことに取り組みたい。
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| Causes of Carryover |
科研費は主に旅費として使っているが、今年は特に設備更新のための費用多く計上していた。当該年度では、モンゴルへの出張を予定していたが、大学の学部内における教務関係の責任者をしていたため、出張を取りやめた。そのための費用が残額となった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度は、積極的に研究連絡等を行い、研究を推進するために研究費を使用する。特に9月にスペインにおいて開催される研究集会に参加する予定である。
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