2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study of hypergeometric functions on the Grassmannian, q-hypergeometric functions and nonlinear special functions
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15K04903
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
木村 弘信 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40161575)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 超幾何函数 / 行列積分 / holonomic系 / 量子Painleve系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究計画は，当初Grassmann多様体上の超幾何函数(一般超幾何函数)の満たす微分方程式系の大域的研究，特にモノドロミー表現やストークス現象の研究を進めることであった。途中から，多変量解析の研究に重要な役割を果たす行列積分で定義される超幾何関数について研究をおこなっている。すなわち本研究の目標はGauss の超幾何関数とその合流型関数の一般化としてGel’fand と申請者によって導入されたGrassmann 多様体 Gr(2,N) 上の一般超幾何関数の積分表示を行列積分の形で拡張し，これらを統御する holonomicの構築と非線形可積分系との関係を明らかに，Lie 群論(対称錐の幾何)の視点から特殊関数論を構築することである。
今年度の研究では，Gr(2,4)上の超幾何関数であるGaussの超幾何とその合流型関数の内，Hermite-Weber, Airy関数の行列積分版についてその満たすべき微分方程式系を予想し，次のことを示した。１）方程式系を与える作用素たちのなすイデアルに対してグレブナー基底を求めた。２）方程式系がholonomic系で，そのholonomic rankが2^nであることを示した。３）nxn行列積分で与えられる関数が，実際に予想した方程式系の解になっていることをn=1,2,3の場合に示した。
４）量子Painleve系の多項式解やGr(2,4)上の超幾何積分の被積分関数を重み関数とするsemi-classicalな直交多項式と行列積分版Gauss, Kummer, Bessel, Hermite-Weber, Airy関数の特異性への制限との関係を明示的に与えた。
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