Searching for integrable systems over finite fields

2018 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15K04904
• Research Institution: Future University-Hakodate
• Principal Investigator: 由良 文孝 公立はこだて未来大学, システム情報科学部, 教授 (90404805)
• Project Period (FY): 2015-10-21 – 2019-03-31
• Keywords: 離散可積分系

Outline of Annual Research Achievements

本研究は、有限体上に値をとるYang-Baxter写像により力学系を構築することを目的としている。これまでに申請者は、有限体上におけるソリトン系をいくつか得た[1]。この系は有限体上において孤立波を保存し、多項式表示を持つ新規な力学系である。そこにおいて用いられる方法は十分に汎用性を持つものであり、これらの系を含む枠組みを構築し、解明することを第一の目標としてきた。
このために平成３０年度においては、平成２７年度に[2]で得られた楕円数列の一般解のHankel行列式表示のもつ性質を引き続き調べた。この解であるHankel行列式の行列要素はCatalan数列を拡張したものであり、組合せ論的にも興味深いものである。また1次元離散力学系としてintegralityやLaurent性などといった著しい特徴を持つ楕円数列とそれに付随するSomos数列について考察し、その解の性質を考察した。楕円数列は楕円曲線上の点列に等価なものであり、楕円曲線暗号や代数幾何において本質的である。楕円数列の解の行列式表示と離散対数問題などの関係やその応用は引き続き今後の課題である。
また有限体上におけるソリトン系を与える枠組みに現れる代数系が暗号理論に応用できることが最近示唆されている。暗号理論への応用に付随して離散対数問題などの基本的な考察を行った。
[1] Fumitaka YURA, "Solitons with a nested structure over finite fields", J. Phys. A: Math. Theor 47, 325201-24 (2014).
[2] Fumitaka YURA, "Hankel determinant solution for elliptic sequence", Linear Algebra and its Applications 484, 27-45 (2015).