2015 Fiscal Year Research-status Report
佐藤グラスマンと多変数シグマ関数によるソリトン理論の新展開
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15K04907
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| Research Institution | Tsuda College |
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Principal Investigator |
中屋敷 厚 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ソリトン解 / テータ関数解 / 特異有理曲線 / 通常2重点 / 通常3重点 / 佐藤グラスマン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
KP階層と呼ばれる普遍性をもつ可積分方程式系には佐藤により最初に構成されたソリトン解がある。現在では、ロンスキアン構成と呼ばれるKP階層の解の一般的構成法の特別な場合として佐藤のソリトン解は構成出来ることが知られている。児玉らの研究により、佐藤のソリトン解は、広田のソリトン解に比べて豊かな性質を持つことが明らかにされ、注目されている。本研究では、佐藤のソリトン解に退化するようなテータ関数解を構成しその性質を調べることを1つの大きな目標としている。それはまた、佐藤グラスマンとタウ関数を積極的に用いて、ソリトンやテータ関数の性質を系統的に調べるという大きな計画の一部でもある。今年度はまず特異有理曲線から構成されるKP階層の解について研究した。従来の研究により広田のソリトン解は通常2重点という特異点をもつ有理代数曲線から構成されることが知られている。今年度の研究では、佐藤グラスマンを用いて、通常3重点という特異点を持つ有理代数曲線に対応する解を明示的に決定した。こうして得られる解の特徴はソリトン解のロンスキアン構成に用いる関数にパラメータに関する微分が現れるところである。本研究の構成法は、通常4重点、通常5重点、...と拡張することが可能と考えており、現在継続して研究中である。今年度はまた、特異有理曲線から如何にして佐藤のソリトン解を構成できるかについても研究し、その方向での結果も一部得られているが、細部の検証が必要な状況で研究を継続中である。今年度行った他の研究として、タウ関数を用いた超楕円ヤコビ多様体上のある種の線形微分方程式系（D加群という）の研究がある。D-加群の指標を決定し、より一般の場合のD-加群の構造についての予想を提案した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年6月に、佐藤のソリトン解に対応する幾何学的データを特定したとするS.AbendaとP.Grinevichによる論文がプレプリントの形でアーカイブ上に発表された。この論文の内容は、本研究で計画していた内容に非常に近いもので、研究計画を見直すか、継続するか判断を迫られることになった。しかしこの論文の結果を慎重に検討した結果、佐藤グラスマンを経由した佐藤ソリトン解の幾何学的構成は、それが出来れば上記論文とは異なる利点を有すると確信するようになり当初の計画に沿った形での研究継続を決めた。その結果本年度の後半に研究実績概要で述べたような結果が得られた。これらの結果はどれも当初予想していなかった類のもので研究はうまく進んだとの実感を持っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で述べたように、通常多重点を持つ特異有理曲線に対応するKP階層の解の構成、佐藤ソリトン解の幾何学的構成に関する研究を継続する。さらに、これらの解に退化するテータ関数解の構成に関する研究を行う。
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| Causes of Carryover |
Novosibirskで開催された研究会出席のための滞在費全額が主催者側から支払われたため当初予定していた旅費の額が予算を下回ったことが次年度使用額が生じた主な理由である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
韓国高等研究所（ソウル）で6月に開催されるworkshop出席、8月末に名古屋大学で開催される研究会出席、神戸大学の山田泰彦教授との議論の為の神戸大学訪問数回、大阪市立大学研究員の綾野孝則氏の招聘、ソボレフ数学研究所のA.Mironov教授招聘、モスクワ大学のA.Zheglov教授招聘、mini-workshop開催
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Research Products
(3 results)
