2017 Fiscal Year Research-status Report
佐藤グラスマンと多変数シグマ関数によるソリトン理論の新展開
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15K04907
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
中屋敷 厚 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | タウ関数 / リーマンテータ関数 / 多変数シグマ関数 / 佐藤グラスマン / 超楕円曲線 / ソリトン解 / KP方程式 / ブシネ方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き佐藤グラスマンを用いてKP階層のテータ関数解の極限について研究した。昨年度は(n,s)曲線と呼ばれる代数曲線が通常n重点のみを持つ既約有理曲線に退化するときテータ関数解が一般化ソリトン解と呼ばれる解に退化することを示した。今年度はまず種数3の(3,4)曲線の場合に得られた解の詳しい性質を研究した。KP方程式は、実変数実数値関数に対する方程式と見たとき、実のスケール変換では移り合わない2つの方程式、KP1, KP2に分けられることが知られている。今回得られた解はKP2の実数値解であるが、変数を虚数倍する変換でKP1の実数値解になるという著しい性質を持つことが分かった。この解はKP2の解としては時間に依存しない解（定常解）になっており、従って空間1次元の波動方程式であるブシネ方程式の解になる。ブシネ方程式の解としては周期解に近い性質を持っていること、解の極はソリトンに類似の性質を持っていること、KP2の定常解としては、平面上にある特異な線模様を作り出すことなどが分かった。KP1の解に変換すると、対応するブシネ方程式の解としては1ソリトン解のように見えること、2次元時空で見るとKP1のランプ解に類似の性質を持つことなどが分かった。このように昨年度得られた解は、非有界な解ではあるが、多くの興味深い性質を持つことが分かった。
今年度は他に、超楕円曲線が可約な有理曲線に退化するときテータ関数解がどう退化するかについて研究した。超楕円曲線の可約な退化からいろいろな型のソリトン解が得られることはAbendaにより示されていた。ここでは、佐藤グラスマンを用いた方法によりAbendaの結果が再現できることを示した。ただテータ関数解の極限の存在をきちんと示した点、タウ関数が零点を持つような場合まで調べた点は新しい結果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
今年度の研究計画として、テータ関数解の代数的構造の研究、およびある種の空間曲線（三浦曲線）の有理曲線への退化とそれに伴うテータ関数解の退化の研究を計画していたがこれは全然手がついていない。理由は今年度参加したガリポリ（イタリア）での研究会での講演を聞いて、平面曲線の場合にも退化に関係した多くの問題が残されていることを知り、しかもその問題に本研究の方法である佐藤グラスマンの方法が有効であることに気が付いたことがあげられる。研究会から戻った後はその問題に集中し当初計画の研究を遂行することは出来なかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
佐藤グラスマンによる方法は、平面代数曲線が有理曲線に退化する場合だけでなく代数曲線の種数が正である曲線への退化を考える際にも有効であることに気が付いたのでその方向で研究を進める。具体的には(n,s)曲線と呼ばれる平面代数曲線に対して異なる種数のシグマ関数の間の関係式を決定する問題を研究する。
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| Causes of Carryover |
当初の研究計画が遅れている状況で、本研究のアイディア・方法により成果の期待できる研究に計画変更した。変更した研究計画の遂行にはさらに1年程度時間が必要であるため当初予定していた研究会の開催をとりやめその分の費用を次年度の研究資金に回すことにしたため。この費用は主に2018年9月2日-7日にカナダのバンフで開催されるワークショップ参加のために使用する予定である。
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