2018 Fiscal Year Annual Research Report
An approach to soliton theory by the method of the Sato Grassmannian and multi-variate sigma functions
| Project/Area Number |
15K04907
|
|---|
| Research Institution | Tsuda University |
|---|
Principal Investigator |
中屋敷 厚 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 一般化ソリトン解 / KP方程式 / 通常3重点 / 佐藤グラスマン / タウ関数 / リーマンテータ関数 / 多変数シグマ関数 / 可約代数曲線 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までの研究では種数1以上の代数曲線の種数ゼロの代数曲線への退化を考察し、佐藤グラスマンの方法を用いて、(n,s)曲線と呼ばれる平面代数曲線の場合に、対応するKP方程式のテータ関数解の極限を厳密に計算した。その過程で一般化ソリトン解と呼ばれる概念を導入し解の解析を行った。
昨年度までの研究で、解の退化の研究に佐藤グラスマンの方法が極めて有効であることが実証された。そこで本年度は超楕円曲線の場合に種数を一つ下げる退化、幾何学的には穴のいくつか開いたドーナツの表面で表される曲面の穴を一つピンチする退化に伴うKP方程式の解の退化について、佐藤グラスマンの方法により研究した。その結果この退化極限でテータ関数解（タウ関数）は種数が1下がったテータ関数解2つの1次結合に退化することが分かった。さらにその公式と、タウ関数の多変数シグマ関数による表示式を用いて、g変数のシグマ関数の退化をg-1変数のシグマ関数2つの1次結合として表示する公式を証明した。この公式はgが2の場合にJ.Bernatska,D.Leykinによる先行研究で異なるやり方で証明されていたものである。それが一般のgの場合により簡明で見通しの良いやり方で拡張されたのである。
当初の目標は、テータ関数解の種数ゼロへの退化を詳しく研究し、ソリトン解について知られている組み合わせ的構造がテータ関数解に対してどう拡張されるかを佐藤グラスマンを用いて解明するということであった。残念ながらこの目標は達成できなかった。しかし一方で佐藤グラスマンの方法は種数ゼロへの退化だけでなく高種数への退化の研究においても極めて有効であることが証明された。KP方程式の解の高種数への退化の研究は背景が平坦でない波の中に現れるソリトンやrogue waveの研究に関係して重要なものと考えられ、その研究のための重要な研究手段を見つけた意義は大きいと考える。
|
