2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04908
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
山崎 晋 日本大学, 理工学部, 教授 (00349953)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | D加群 / 境界値問題 / 超局所解析 / 佐藤超函数 / 近接輪体 / 消滅輪体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1． 2015年度は，Y. Laurent-T. Monteiro Fernandes の導入したフックス型 D 加群に対して近接輪体加群を定義し，複素領域に於ける境界値問題，及び実領域に於ける佐藤超函数解に対する双曲型境界値問題を論じ，一意可解性定理を証明した．2016年度は，引き続き，複素領域に於いて消滅輪体加群 を，近接輪体加群のフーリエ佐藤変換像 として定義した．更に，近接輪体加群，消滅輪体加群，D 加群の範疇に於ける逆像，捻れ逆像を結びつける幾つかの特殊三角形を与え，更にそれ等の関係を与える8面体公理の存在を示す事が出来た．更に，応用として，複素領域に於いて消滅輪体加群を用いて， フックス型 D 加群の実整型超局所函数解に対する一意可解性定理を得る事が出来た．この結果は，実領域に於いては，第2超函数解に関する結果を導き，双曲性条件の下で，一意可解性定理が得られる．
以上の結果は， Laurent が正則特殊化可能系に対して証明した結果のフックス型 D 加群への拡張であり，既に知られている D 加群論に於ける近接輪体加群，消滅輪体加群の理論との整合性も示す事が出来た．
2．日本数学会2016年秋季総合分科会函数解析学分科会に於いて，「 解析的範疇の無限階擬微分作用素とその表象」という題で特別講演を行った， 内容は連携研究者の青木貴史氏 (近畿大学), 本多尚文氏 (北海道大学) との共同研究に基づく．
3．本多尚文氏 (北海道大学)，Luca Prelli 氏 (Universita degli Studi di Padova)との共著の論文 Multi-microlocalization and microsupport が Bulletin de la SMF にて出版された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は，昨年度に定義した，フックス型 D 加群に対する近接輪体加群を元にして，消滅輪体加群を定義する事が出来た．これは，当初の，2016年度に於ける「今後の研究の推進方策等」で第一の目標としており，今年度の研究で出来たので，順調であった．又，当初は証明する事が困難と予想された，種々の特殊三角形，及び8面体公理の存在も示す事が出来，更には種々の函手的性質も得る事が出来た事は非常に良かったと言える．これらの証明のアイデアは，或る種の(形式的)無限階偏微分作用素による方程式系の標準形への変換，及びそのフーリエ佐藤変換を用いるというものである．その際，考察する対象の各コホモロジーが，法繊維束上で単に斉次であるだけでなく複素斉次である事が本質的に使われる．更に複素斉次性は，複素領域に於ける整型函数解のモノドロミー構造とも密接に関連する事が判る．又，正則特殊化可能系の場合では，Laurent による近接輪体加群，消滅輪体加群の定義と，我々の構成法とを比較する事によって，我々の新たな近接輪体加群，消滅輪体加群が，従来の研究を一般化したものである事が証明出来る．ここまで証明出来た事は良かった．
一方，無限階作用素の超越的性質により，我々の近接輪体加群，消滅輪体加群の代数的性質に関しては，今だに不明な点が多い事も事実である．又，分布 (distribution), Gevrey 超分布 (Gevrey ultradistribution)，或いは無限階可微分函数，Gevrey 超可微分函数に対する境界値問題は未だ考察してはいない．これらの点に関する研究も進めていきたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
2016年度に得られた消滅輪体加群の定義等に対する諸結果は，前年迄に得られた近接輪体加群に対する諸結果と併せた形で論文準備中であるが，今の所，証明が予想外に長くなってしまった．その為．証明の議論を簡略化し，短くする事が出来るかどうか検討したい．又，我々の近接輪体加群，消滅輪体加群について，代数的性質 (有限性等) の研究は今だ不充分であるので，この点に関する考察を行いたい．又，フックス型偏微分方程式系に対して田原秀敏氏は非正則度 (irregularity) を定義し，解の正則性を論じた．この非正則度に対応して，Gevrey 超分布，Gevrey超可微分函数が定まるが，これに作用する無限階作用素のクラスを設定し，同様の変換理論を確立する事で，佐藤超函数の場合と同様の結果を得る事も考えたい．
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