2015 Fiscal Year Research-status Report
各種エントロピーを巡る展開および可測力学系と位相力学系との作用素論的基礎研究
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15K04910
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
長 宗雄 神奈川大学, 理学部, 教授 (10091620)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Entropy / Hilbert space / Operator Theory / spectrum / isometry / C^*-algebra / dynamical system |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2015年度から2019年度までの期間で研究を進めている「各種エントロピーを巡る可測力学系と位相力学系との作用素論的基礎研究」について当初の計画をおおむね達成することができた。Double stochastic 行列と各種エントロピーを巡る展開において、各要素はすべて非負である行列に対して、各行および各列の和が共に1 であるものはDouble stochastic 行列と呼ばれる。n 次複素行列上の正線形写像Φが単位元を単位元に移し、標準トレースを保存するならば、その写像から必然的にDouble stochastic 行列 T(Φ)が浮上してくる。従って上記の性質をもつ写像Φに対する議論とDouble stochastic 行列T(Φ)に対する議論を平行に進めることができる。このことに注視してT(Φ)にエントロピーを定義することにより、その値がゼロであることによる写像Φの性質の特徴付けを行った。この結果は 「Around Bistochastin Matrices」の題名で, Acta Phis. Pol. B46(2015),1883-1896 で発表した。さらに「作用素論的基礎研究」においてはヒルベルト空間上の有界線形作用素に対して (m,C)-isometric operator を導入しこの作用素の特徴について研究を進めた。主な結果は作用素T が(m,C)-isometricのとき、Tn も(m,C)-isometric であり、T* が single value extension property をもてば T もsingle value extension property をもつことを示した。さらに power bounded な(m,C)-isometri 作用素 T が T*CTC – I がnormaloid であれば T は(1,C)-isometric であることを示した。従って、power bounded な(m,C)-isometri 作用素 T が TC=CT を満たすとき T はisometric であることになる。これはonline でComplex Anal. Oper. Theory より発表された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
科研費による研究によって得た成果を初めに６月18日～20日の間に韓国・Daejeon で開催された国際研究集会「 KOTAC 2015」において「On m -isometric operators」の題名で研究発表を行い、さらに京都大学数理解析研究所で11月9日～11日間で開催された研究集会「順序と幾何による作用素の構造研究と関連する話題」において11月9日に「On m -isometric operators」の題名で研究発表を行った。最後に12月19日～12月21日の間に中国・重慶で開催された国際研究集会「International Conference on Non-commutative Geometry and K-Theory」に参加し12月19日「Operational convex combinations from a viwpoint of entropy」の題名で研究発表を行った。二度の国際研究集会と京都大学数理解析研究所での研究発表を行うことができ、研究はおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
2016年度においては double stochastic 行列は、多重確率ベクトルだと看做すことができるので、各種エントロピーの概念を何らかの方法で適用する事が可能であると考える。そこでM_n(C) 上の与えられた二つの状態 ρと Φ に対して、{ρ, Φ} からdouble stochastic 行列 b_(ρ,Φ) を定義する。次に、二つの状態ρ と Φ に対する相対エントロピー S(ρ, Φ) の概念を念頭に置きながら、行列 b_(ρ, Φ) に対するエントロピーを定義し、このエントロピーと、S(ρ, Φ) との関係を調べる。作用素論的基礎研究については、引き続きヒルベルト空間上での conjugation に伴う研究を進めると共にconjugation をバナッハ空間上の場合に拡張することを今年度の課題の一つと考える。
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| Causes of Carryover |
昨年度の6月に韓国で開催された国際研究集会に長田まりゑ氏が参加し、講演する費用に充てていたが、MERS 問題が発生し、参加を取りやめた。この航空券代などの約 6 万円が残りました。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度の科研費は総額 50 万円ですので、約 56万円として、今年度は 6月に韓国ソウル大学で開催される KOTAC 2016 に約 10 万円使用し、11 月に京都大学数理解析研究所で開催される研究会の期に スペイン・カンタブリア大学教授の M. Gonzalez 教授に来日いただき、共同研究を行う、このための費用に 30 万円を充てる。残金の 16 万円については 長田まりゑ氏の国際研究会での研究発表の費用として使用する予定です。
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