2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04913
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
清水 悟 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90178971)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | リー理論 / 複素解析幾何 / CR幾何 / 無限小CR自己同型 / チューブ領域 / ラインハルト領域 / 正則自己同型 / 正則同値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、リー理論を用いた複素解析幾何の研究を中心に、研究代表者および連携研究者の専門分野において主として、つぎのような研究成果を得た。
１．可解な自己同型群をもつチューブ領域に関する正則同値問題について研究を進めた。具体的には、D を複素 n 次元数空間内の多項式無限小自己同型のみをもつチューブ領域とし、その底は直線を含まない凸領域であるとする。そして D の正則自己同型群 G は可解である仮定する。このとき、G のリー環の、実平行移動の群に対応する部分環の共役性について、新たな知見を得た。
２．複素有界領域の幾何において、ある大域的特性をもつ領域を局所的に特徴付けることは興味ある課題である。これに関連して、等質有界領域の準局所的特徴付けを与えた。そして応用として、対称領域の特徴付けやある種の非対称等質有界領域の特徴付けに関する結果を得た。
３．一般複素擬楕円体は、その定義関数に自然数に値を持つパラメータが含まれる。次元の異なる一般複素擬楕円体の間に固有正則写像が存在するとき、定義域に対応するパラメータと値域に対応するパラメータとの間にある関係式を求めることができた。また、そのような正則写像を定義域と値域の自己同型群の作用の差を省いて分類した。28年度には写像のヤコビ行列の非退化性と次元についてのいくつかの（不自然な）条件が必要であったが、29年度にはヤコビ行列の条件を取り省くことができ、さらに次元の条件も自然なものに置き換えることができた。
４．等質ケーラー多様体のアファイン類似である等質ヘッセ領域について研究を進めた。とくに、全ての等質ヘッセ領域が、特定のブロック分解をもつ実対称行列の集合として実現できることを証明し、その実現を用いて群作用や不変ヘッセ計量を明示的に構成した。これは情報幾何のような応用数学においても意義をもつ。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究のコアとなる内容について大きな進展をみている。また具体的な成果がまだ得られていない問題についても、その研究を通じて新たな結果、問題の知見を得ることが出来ており、研究全体としておおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
チューブ領域に関する正則同値問題の研究を、研究実績の概要に述べた成果を踏まえて推し進め、正則同値問題の完全解決を目指す。そして関連した諸問題の系統的な研究も行い、それらを通じてチューブ領域の複素幾何学的理論の構築を試みる。またリー理論を用いた CR 幾何の研究については、多項式無限小自己同型のみをもつチューブ領域の研究と関連して、チューブ超曲面の多項式無限小 CR 自己同型を調べる。そしてその研究をチューブ超曲面に関する CR 同値問題へ応用する。さらに本研究で得られた、まだ未発表の結果を、雑誌論文、学会発表を通じて順次発表してゆく。
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